Grupa diedralna
Z Wikipedii
W teorii grup, grupy diedralne są pewnymi grupami składającymi się z obrotów (wokół środka) i odbić (względem osi) płaszczyzny. Operacją grupową jest złożenie tych przekształceń.
W szczególności skończona grupa diedralna D2n ma 2n elementów i jest generowana przez obrót r rzędu n i odbicie f rzędu 2. Dla dowolnych dwóch elementów zachodzi
- r f = f r -1.
Jeśli n ≥ 3, to D2n jest grupą symetrii n-kąta foremnego.
(Niektórzy autorzy stosują oznaczenie Dn zamiast D2n.)
Najprostszą grupą diedralną jest D4, generowana przez obrót r o 180 stopni i przez odbicie f względem osi Y. Elementy D4 mogą być przedstawione w postaci {e, r, f, rf}, gdzie e jest przekształceniem identycznościowym, a rf jest odbiciem względem osi X. Przykład znajduje się poniżej:
D4 jest izomorficzna z czwórkową grupą Kleina.
Jeśli rząd grupy D2n jest większy niż 4, to działanie w niej nie musi być przemienne, więc grupa D2n nie jest abelowa. Na przykład w grupie D8 symetrii kwadratu obrót o 90 stopni złożony z odbiciem względem osi Y daje inny wynik niż odbicie względem Y złożone z obrotem o 90stopni.
Wszystkie 2n elementów grupy D2n możemy zapisać w następujący sposób e, r, r2,...,rn-1, f, fr, fr2,...,frn-1. n pierwszych wymienionych elementów to obroty, pozostałych n to odbicia osiowe (każde z odbić ma rząd 2). Iloczyn dwóch obrotów lub dwóch odbić daje w wyniku obrót. Iloczyn obrotu i odbicia jest odbiciem.
Jeśli grupę D2n (n ≥ 3) będziemy rozpatrywać jako grupę symetrii n-kąta foremnego, to możemy zauważyć, że grupa D2n jest podgrupą grupy symetrycznej Sn.
Własności grupy diedralnej D2n dla n ≥ 3 zależą od tego, czy n jest liczbą parzystą, czy nieparzystą. Na przykład centrum grupy D2n składa się tylko z przekształcenia tożsamościowego jeśli n jest nieparzyste i zawiera element rn/2 jeśli n jest parzyste.
Jeśli m dzieli n, to D2m jest podrupą grupy D2n. Całkowita liczba podgrup w D2n (n ≥ 3), jest równa d(n) + σ(n), gdzie d(n) jest liczbą dzielników liczby n , a σ(n) jest sumą dzielników n.
