Grupa podstawowa
Z Wikipedii
Spis treści |
Grupa podstawowa – rozważana w topologii grupa klas homotopii pętli w przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem (lub łukowo spójnej), pozwalająca na użycie względnie łatwych metod algebraicznych do dowodzenia skomplikowanych twierdzeń topologicznych.
[edytuj] Definicja
Niech X będzie przestrzenią topologiczną z wyróżnionym punktem , zaś Ω(X,a) zbiorem pętli zaczepionych w a w niej określonych. Niech .
Iloczynem (złożeniem) pętli α,β nazywamy pętlę
Odwrotnością pętli α nazwiemy pętlę
- dla .
Wyróżnijmy też odwzorowanie stałe dla każdego .
Powyższe przekształcenia nie posiadają dobrych własności algebraicznych, przede wszystkim dlatego, że pętle o identycznym obrazie mogą różnić się parametryzacją (zależą od czasu) uważane są za różne. Ich utożsamienie za pomocą relacji homotopii, co tłumaczą poniższe uwagi, pozwala na określenie podstawowej struktury algebraicznej – grupy – w zbiorze Ω(X,a) / ˜ klas homotopii (klas abstrakcji relacji homotopii) pętli zaczepionych w a.
Grupą podstawową przestrzeni X z wyróżnionym punktem a nazwiemy zbiór klas homotopii z działaniem mnożenia , operacją odwracania oraz elementem neutralnym . Grupę tą oznaczymy symbolem π1(X,a).
[edytuj] Uwagi
- Jeżeli α˜α' oraz β˜β', to .
- Dla α,β,γ zachodzi .
- Dla każdej pętli α jest oraz .
[edytuj] Teoria kategorii
Jeśli przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, to ich grupy podstawowe w punktach sobie odpowiadających są izomorficzne. Ta prawidłowość ma znaczenie w szerszym zakresie teorii, jak teoria grup homologii, kohomologii czy homotopii w wyższych wymiarach.
Na teorię grup podstawowych można patrzeć jako na przełożenie twierdzeń o przestrzeniach topologicznych i ich ciągłych odwzorowaniach na twierdzenia o grupach i ich homomorfizmach (z zachowaniem odpowiednich złożeń). Teoria grup podstawowych określa funktor przekształcający kategorię przestrzeni topologicznych i ich ciągłych odwzorowań w kategorię grup wraz z ich homomorfizmami .
[edytuj] Przykłady
- W rozpatrzmy pętlę f. Pętla ta jest równoważna pętli stale równej 0. Odpowiednią homotopią jest funkcja , więc grupą podstawową przestrzeni jest grupa trywialna, czyli złożona z elementu neutralnego.
- Na okręgu (lub powierzchni bocznej walca) pętla jest całkowicie scharakteryzowana przez liczbę jej obiegów wokół tego okręgu, więc grupą podstawową wspomnianych przestrzeni jest nieskończona grupa cykliczna, czyli izomorficzna z grupą liczb całkowitych z dodawaniem.
- Grupą podstawową torusa jest
- Grupą podstawową pary okręgów stycznych jest grupa wolna o dwóch generatorach.
- Grupą podstawową płaszczyzny rzutowej jest .
[edytuj] Łukowa spójność
Jeżeli przestrzeń Y jest łukowo spójna, to dla dowolnych punktów grupy π1(Y,s) oraz π1(Y,t) są izomorficzne. Wówczas grupą podstawową przestrzeni Y nazywa się grupę izomorficzną z π1(Y,u) dla dowolnego i oznacza π1(Y).
Jeżeli przestrzeń X również jest łukowo spójna, a przestrzenie X oraz Y są homotopijnie równoważne, to .
Dla przykładu, wstęga Möbiusa, okrąg i pobocznica walca mają te same grupy podstawowe.
[edytuj] Źródła
- Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych.. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994.
- S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol: Topologia I wykłady i zadania. skrypt, 2005.
[edytuj] Literatura
- Richard H. Crowell, Ralph Hartzler Fox: Introduction to knot theory. Boston: Ginn and Co., 1963.
- Samuel Eilenberg, Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology. Princeton: 1952.