Henri Lebesgue

Z Wikipedii

Henri Lebesgue

Henri Léon Lebesgue (ur. 28 czerwca 1875 r. w Beauvais, zm. 26 lipca 1941 r. w Paryżu) - francuski matematyk. Twórca nowoczesnego ujęcia teorii miary i całki, zwanej na jego cześć całką Lebesgue'a. Prowadził również badania w teorii szeregów Fouriera i topologii - jedno z podstawowych pojęć teorii wymiaru nosi dziś nazwę wymiaru Lebesgue'a.

Ojciec Lebesgue'a zmarł na gruźlicę, gdy ten był jeszcze dzieckiem - matka musiała samodzielnie dokładać wszelkich starań, by umożliwić naukę zdolnemu synowi. Ciężkie dzieciństwo odbiło się jednak na zdrowiu Lebesgue'a, który całe życie cierpiał z powodu różnych dolegliwości. Po ukończeniu szkoły średniej studiował na Ecole Normale Supérieure, którą ukończył w roku 1897.

W latach 1899-1902 pracował w szkole prywatnej, a jednocześnie pracował nad teorią miary. Wyniki opublikował w kwietniu 1901 roku w słynnej pracy Sur une généralisation de l'intégrale définie, gdzie podał konstrukcję tego, co dziś nazywamy całką Lebesgue'a. Praca stanowiła część opublikowanej rok później dysertacji Lebesgue'a Intégrale, longueur, aire, gdzie rozwijał swe idee. Po doktoracie objął posadę na uniwersytecie w Rennes. W roku 1903 ożenił się z siostrą kolegi ze studiów, z którą miał dwoje dzieci. Małżeństwo to rozpadło się w roku 1916.

W roku 1910 objął posadę wykładowcy analizy matematycznej na Sorbonie, a po wojnie, w roku 1921 otrzymał stanowisko profesora matematyki w College de France, które zajmował aż do śmierci.

[edytuj] Główna idea całki Lebesgue'a

W najprostszym przypadku całkę funkcji na odcinku można rozumieć jako pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji i osią OX. Idea ta wywodzi się już od twórców rachunku różniczkowego, Newtona i Leibniza, jednak dopiero w pierwszej połowie XIX wieku Cauchy postawił problem ścisłego określenia pojęcia całki. Jego rozwiązanie stało się możliwe po pracach Weierstrassa, który wyjaśnił jak należy rozumieć pojęcie granicy, a zawarte jest w opublikowanej w rok po śmierci autora pracy Riemanna. Niestety, już pod koniec XIX wieku pojęcie całki Riemanna okazało się zbyt ograniczone jak na potrzeby ówczesnej matematyki, a zwłaszcza badań w teorii szeregów Fouriera. Chodziło przede wszystkim o "niedobre" zachowanie się całki podczas przechodzenia do granicy - granica ciągu funkcji całkowalnych w sensie Riemanna nie musi być funkcją całkowalną w tym sensie. Dziś wiemy, że kolejne próby uogólnienia pojęcia całki w ten sposób, by i funkcja graniczna była całkowalna, rozbijały się o brak właściwego pojęcia miary.

Problemy te rozwiązał Lebesgue w swojej dysertacji. Po uprzednim zdefiniowaniu miary na prostej liczbowej, zauważył że podejście Riemanna należy odwrócić - zamiast przybliżać funkcję podcałkową funkcjami schodkowymi powstałymi przez podział jej dziedziny, należy przybliżać ją funkcjami powstałymi w oparciu o podział przeciwdziedziny. Podejście to okazało się tak elastyczne, że bez większych zmian przenosi się na przestrzenie znacznie ogólniejsze niż prosta liczbowa i pozwala stosować pojęcie całki do bardzo szerokiej i dobrze zdefiniowanej klasy funkcji. Co więcej, zachowuje ono własność całkowalności po przejściu do granicy.