Szereg Fouriera
Z Wikipedii
Szereg Fouriera – w matematyce szereg, pozwalający rozłożyć funkcję okresową spełniającą warunki Dirichleta na sumę funkcji trygonometrycznych, co ma wielkie znaczenie w fizyce, teorii drgań, a nawet w muzyce.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech dana będzie pewna funkcja okresowa , (okres T, ), bezwzględnie całkowalna w przedziale [-T/2, T/2].
Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:
-
(1.1)
O współczynnikach określonych następującymi wzorami:
-
(1.2)
-
(1.3)
Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak, po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.
W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (T oznacza okres funkcji) . ω nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Stosując takie oznaczenie powyższe wzory przyjmują postać:
-
(1.1a)
-
(1.2a)
-
(1.3a)
[edytuj] Przykłady
[edytuj] Własności
Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.
[edytuj] Lemat I (całki pomocnicze)
n jest liczbą całkowitą
m, n są liczbami naturalnymi
[edytuj] Lemat II
[edytuj] Dowód
więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):
q. e. d.
[edytuj] Lemat III (Riemanna)
Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a; b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to
[edytuj] Dowód
[edytuj] Twierdzenie (Eulera–Fouriera)
Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f(x) to współczynniki an,bn są wyrażone wzorami (1.2), (1.3).
[edytuj] Dowód
Mnożąc powyższą równość przez cosnωx, całkując szereg w granicach od -T do T (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:
Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że n jest różne od k (gdy n = 0 zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:
Stąd otrzymujemy wzór (1.2).
Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy razy sinus)
q. e. d.
[edytuj] Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.
[edytuj] Dowód
Niech x0 będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy oczywiście:
Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:
Stosując do tego wyrażenia lemat II otrzymujemy następujący wzór:
Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:
Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest oczywiście rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f(x) = 1 mamy:
Mnożąc powyższą równość przez f(x0) i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu otrzymujemy:
(*)
Rozważmy następującą granicę:
przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie x0
Możemy określić następującą funkcję:
Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki wzór (*) możemy zapisać w postaci:
Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:
czyli:
q. e. d.