Interpolacja wielomianowa
Z Wikipedii
Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange'a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange'a, lub po prostu interpolacją jest metodą numeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange'a stopnia n, przyjmującym w n+1 punktach, zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżana funkcja.
Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.
Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję y=f(x) ciągłą na przedziale zamkniętym można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.
Spis treści |
[edytuj] Interpolacja liniowa
Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych x0 i x1, dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty (x0,f(x0)) i (x1,f(x1)).
[edytuj] Ogólna metoda
Metoda interpolacji polega na:
- wybraniu n + 1 punktów należących do dziedziny f, dla których znane są wartości
- znalezieniu wielomianu W(x) stopnia co najwyżej n + 1 takiego, że .
Interpretacja geometryczna – dla danych n + 1 punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej n, którego wykres przechodzi przez dane punkty
[edytuj] Znajdowanie odpowiedniego wielomianu
Wielomian przyjmujący zadane wartości w konkretnych punktach można zbudować w ten sposób:
- Dla pierwszego węzła o wartości f(x0) znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość f(x0), a w pozostałych węzłach wartość zero.
- Dla kolejnego węzła znajduje sie podobny wielomian, który w drugim węźle przyjmuje wartość f(x1), a w pozostałych węzłach wartość zero.
- Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego
- Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego
- Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym
Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.
[edytuj] Dowód istnienia wielomianu interpolującego
Niech będą węzłami interpolacji funkcji takimi, że znane są wartości
Można zdefiniować funkcję:
- ,
taką, że dla Li(x) jest wielomianem stopnia n (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem n wyrazów postaci )
- Gdy i k = i:
- Gdy i :
(licznik = 0 ponieważ występuje element (xk − xk))
Niech będzie wielomianem stopnia co najwyżej n, określonym jako:
Dla
- .
Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od i są równe zeru (ponieważ dla , składnik o indeksie i jest równy:
- .
A więc
z czego wynika, że jest wielomianem interpolującym funkcję w punktach .
[edytuj] Jednoznaczność interpolacji wielomianowej
Dowód
Załóżmy, że istnieją dwa wielomiany W1(x) i W2(x) stopnia n, przyjmujące w węzłach takie same wartości.
Niech
będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej n (co wynika z własności odejmowania wielomianów).
Ponieważ W1(x) i W2(x) w węzłach interpolują tę samą funkcję, to W1(xi) = W2(xi), a więc W3(xi) = 0 (węzły interpolacji są pierwiastkami W3(x)).(*)
Ale każdy niezerowy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że ma n + 1 pierwiastków, to W3(x) musi być wielomian tożsamościowo równy zeru. A ponieważ
to
co jest sprzeczne z założeniem, że W1(x) i W2(x) są różne.
[edytuj] Błąd interpolacji
Dość naturalnym wydawało by się zwiększanie ilości węzłów (równoważnie stopnia wielomianu interpolacyjnego) w celu coraz lepszego przybliżenia funkcji f(x) wielomianem Ln(x). Idealna byłaby zależność:
- ,
tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się "coraz bardziej podobny" do interpolowanej funkcji.
Dla węzłów równo odległych tak być nie musi.
Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego stopnia n , przybliżającego funkcję f(x) w przedziale [a,b] na podstawie n + 1 węzłów, istnieje taka liczba zależna od x, że dla reszty interpolacji
gdzie , a jest liczbą zależną od x.
Do oszacowania z góry wartości r(x) można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia n + 1 do oszacowania wartości pn(x) dla . Dla przedziału [a,b] wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu pn(x)
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki
- postać Newtona wielomianu
- postać Lagrange'a wielomianu
- postać Hermite'a wielomianu