Komutator

Z Wikipedii

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

[edytuj] Teoria grup

Komutator dwóch elementów g i h należących do grupy G to element

[g,h] = g ^{− 1}h ^{− 1}gh.

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy g i h komutują (czyli są przemienne, tzn. gh = hg). Podgrupa grupy G generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy G. Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga 

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

[g,h] = ghg ^{− 1}h ^{− 1}.

[edytuj] Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie g^x oznacza sprzężony (przez x) element x ^{− 1}gx.

• [y,x] = [x,y] ^{− 1}.
• .
• .
• .

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga 

Powyższa definicja sprzężenia g przez x używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie g przez x jako xax ^{− 1}, zwykle zapisuje się to jako ^xg.

[edytuj] Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów a i b pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

[a,b] = ab − ba.

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy a i b są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

[edytuj] Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• [A,A] = 0,
• [A,B] = − [B,A],
• [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0.

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• [A,BC] = [A,B]C + B[A,C],
• [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B,
• [A,BC] = [AB,C] + [CA,B],
• [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC,
• [[[A,B],C],D] + [[[B,C],D],A] + [[[C,D],A],B] + [[[D,A],B],C] = [[A,C],[B,D]].

Jeżeli A jest ustalonym elementem pierścienia , pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania danego wzorem . Innymi słowy, odwzorowanie D_A definiuje różniczkowanie w pierścieniu .

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

• .

[edytuj] Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy , który przekształca funkcję w jej pochodną oraz , który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej F przebiega jak następuje:

• , ponieważ ,
• .

Odjęciu tych równań stronami daje:

,

.

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez F jest

,

, czyli .

Stąd wynik zastosowania obu operatorów i na funkcję F zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

[edytuj] Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako [ω,η]_gr: = ωη − ( − 1)^degωdegηηω.

[edytuj] Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

.

Wówczas jest różniczkowaniem, a jest liniowe, np. oraz i homomorfizmem algebry Liego, np. , ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• .
• .

[edytuj] Komutator w fizyce

Komutator jest często używany fizyce kwantowej:

• W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona są zastępowane komutatorami, tzn. , gdzie oraz stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
• W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które w przypadku bozonów spełniają reguły komutacji, a fermionów antykomutacji.
• W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

[edytuj] Antykomutator

Antykomutator {a,b} lub [a,b] ₊ definiowany jest jako [a,b] ₊ = ab + ba. Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus [a,b] ₋ .

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki, tzn. [a,a] ₊ = 0 = aa + aa.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• antyprzemienność,
• algebra różniczkowa,
• pochodna Pincherlego,
• nawias Poissona,
• kanoniczna relacja komutacji,
• mechanika kwantowa.

[edytuj] Źródła

• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X. 
• Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.