Grupa rozwiązalna
Z Wikipedii
Grupa rozwiązalna – grupa dla której istnieje ciąg subnormalny o faktorach abelowych.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Mówimy, że grupa G jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki jej ciąg podgrup normalnych grupy G:
- ,
- Hi + 1 / Hi
są abelowe dla .
[edytuj] Warunki równoważne
Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:
- Grupa G jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy G(n) = 1 dla pewnej liczby n,
gdzie G(n) oznacza n-tą pochodną grupy G. Najmniejszą taką liczbę n nazywa się stopniem rozwiązalności grupy G.
Jeżeli grupa G jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy G są grupami cyklicznymi rzędu, będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera).
[edytuj] Własności
- Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
- Jeśli i grupa G jest rozwiązalna, to iloraz G / H również jest grupą rozwiązalną.
- Jeżeli oraz grupy H i G / H są rozwiązalne, to G również jest grupą rozwiązalną.
- Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
- Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.
[edytuj] Przykłady
- Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
- Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
- p-grupy są rozwiązalne.
- Grupa permutacji Sn jest rozwiązalna dla i nie jest rozwiązalna dla n > 4.
- Grupa alternująca A4 jest nieabelową grupą rozwiązalną. , gdzie V4 oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz , ponadto , skąd A4 jest rozwiązalna.
- Nierozwiązaną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca A5.
- Każda nieabelowa grupa prosta G nie jest rozwiązalna, ponieważ , a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.
[edytuj] Twierdzenia o grupach rozwiązalnych
- Twierdzenie Feita-Thompsona: Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
- Twierdzenie Burnside'a: Każda grupa rzędu pαqα jest rozwiązalna, gdzie p,q są liczbami pierwszymi, a α jest pewną liczbą naturalną.
[edytuj] Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.