Liczby porządkowe

Z Wikipedii

W teorii mnogości, liczby porządkowe to specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków.

Liczby porządkowe stanowią "rdzeń" uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków).

[edytuj] Intuicje

Intuicyjnie, liczby porządkowe to pewne uogólnienie liczb naturalnych. Liczbami naturalnymi możemy numerować elementy zbiorów skończonych i przeliczalnych. Liczbami porządkowymi możemy numerować elementy zbiorów dowolnie dużej mocy (na przykład liczby rzeczywiste), choć do tego potrzebne jest założenie aksjomatu wyboru. Dzięki temu możemy między innymi znacznie rozszerzyć zakres działania indukcji matematycznej.

Każda kreska pionowa przedstawia krok przed osiągnięciem ω·ω - kreski te odpowiadają liczbom postaci ω·m+n gdzie m i n są liczbami naturalnymi.

O liczbach porządkowych możemy też myśleć jak o liczbach potrzebnych do numeracji etapów różnych konstrukcji w sytuacji gdy chcemy tę konstrukcję kontynuować w pozaskończoność. Początkowe kroki konstrukcji możemy numerować używając liczb naturalnych 0,1,2,3,... Wyobraźmy sobie teraz, że wykonaliśmy wszystkie etapy numerowane liczbami naturalnymi i przechodzimy do etapu kolejnego - użyjemy dla niego numeru ω. Tak więc ω oznacza liczbę którą używamy do oznaczenia kroku który następuje po wszystkich krokach oznaczonych przy użyciu liczb 0,1,2,3,... Następny etap będzie oznaczony przez ω+1, a potem użyjemy ω+2 etc. Powinno być teraz jasnym czym (intuicyjnie) jest ω+ω i ω+ω+1 i ω+ω+ω.... A czym jest ω·ω?

Liczby używane do numeracji etapów (tak jak w przykładzie powyżej) powinny mieć pewne naturalne własności. Przede wszystkim powinniśmy być w stanie powiedzieć które kroki są wykonywane wcześniej a które później, co zaraz prowadzi do postulatu że nasze nowe liczby są liniowo uporządkowane. Powinny mieć one także tę własność liczb naturalnych, która umożliwia przeprowadzenie dowodu indukcyjnego, mianowicie każdy zbiór tych liczb powinien mieć element najmniejszy. Tak więc nasze liczby porządkowe powinny być elementami pewnego dobrego porządku. Ponieważ nie chcemy z góry się ograniczać do jakiegokolwiek zbioru, musimy zezwolić na użycie klasy.

Intuicyjna konstrukcja klasy liczb porządkowych przebiega jak następuje.

Najmniejszą liczbą porządkową jest zbiór pusty. Kolejną (1) - zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty. Następną (2) - zbiór, którego elementami są poprzednie liczby porządkowe (czyli zbiór pusty oraz 1). I tak dalej - każda kolejna liczba porządkowa jest zbiorem złożonym z dotychczas skonstruowanych liczb porządkowych.

Na razie skonstruowaliśmy jedynie liczby naturalne. Kolejnym krokiem naszej konstrukcji jest stworzenie nieskończonej liczby porządkowej (ω). Składa się ona ze wszystkich skończonych liczb porządkowych. Konstrukcję możemy ciągnąć dalej...

[edytuj] Definicja

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczba porządkowa to zbiór α taki, że

(i) każdy element $\beta\in\alpha$ jest podzbiorem α (tzn $(\forall \beta\in\alpha)(\beta\subseteq\alpha)$ ), oraz

(ii) każde dwa elementy zbioru α są porównywalne w relacji inkluzji (tzn $(\forall\beta,\gamma\in\alpha)(\beta\subseteq \gamma\ \vee \ \gamma\subseteq\beta)$ ).

Równoważnie, liczba porządkowa to taki zbiór α, który spełnia warunek (i) sformułowany powyżej i jest dobrze uporządkowany przez relację należenia (tzn $(\alpha,\in)$ jest dobrym porządkiem).

Dla liczb porządkowych α i β napiszemy $α < β$ jeśli $\alpha\in \beta$ .

[edytuj] Własności i przykłady

Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:

$0=\emptyset$ ,

$1=\{\emptyset\}$ ,

$2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ ,

$3=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ ,

$\omega=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},\ldots\}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ ,

$\omega+1=\omega\cup\{\omega\}$ .

Jeśli α, β i γ są liczbami porządkowymi to

(a)

α < β

lub

β < α

lub

α = β

(b) jeśli

α < β

β < γ

, to

α < γ

(c)

α < β

wtedy i tylko wtedy gdy $\alpha\subsetneq\beta$ ,

(d) każdy element α jest liczbą porządkową,

(e) $\alpha\cup\{\alpha\}$ jest liczbą porządkowa.

Jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych, to $\bigcup A$ jest liczbą porządkową.
Jeśli $(X,\sqsubset)$ jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna liczba porządkowa α taka że (ostre) porządki $(X,\sqsubset)$ i $(\alpha,\in)$ są izomorficzne.
Jeśli C jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje $x\in C$ taki że $x < y$ lub $x = y$ dla wszystkich $y\in C$ .