Miara kąta
Z Wikipedii
Miara kąta to wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.
Jest to długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej nazywamy radianem.
W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzielimy na 360 stopni kątowych (symbol: °), każdy z nich na 60 minut kątowych (symbol: ′), a każdą z nich na 60 sekund kątowych (symbol: ″). Ułamki sekund kątowych podawane są już dziesiętnie.
Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.
W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: g), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: c), a każdy z nich na 100 decymiligradów (symbol: cc). Podział taki ułatwia ręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, ponieważ przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania na 60 i 90 jednostek.
Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.
| W mierze... | zapis | czytamy |
|---|---|---|
| stopniowej | 10°23′45″76 | 10 stopni, 23 minuty, 45 i 76 setnych sekundy |
| gradowej | 87g65c43cc21 | 87 gradów, 65 ce, 43 i 21 setnych cece co oznacza 87,654321 grada |
Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1km wycina łuk o długości 1m. Tysięczna jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje:
- tysięczna artyleryjska
- 1 ma = 1/6400 kąta pełnego
- tysięczna Rimailho
- 1 mR = 1/6000 kąta pełnego
zatem na kilometrowym okręgu:
| kątowi | odpowiada łuk |
|---|---|
| 1/1000 rad | 100 cm |
| 1 ma | 98,17 cm |
| 1 mR | 104,72 cm |
Dla porównania:
| kątowi | odpowiada łuk |
|---|---|
| 1' | 29,09 cm |
| 1c | 15,71 cm |
[edytuj] Porównanie miar
Argumenty funkcji trygonometrycznych dla liczb rzeczywistych można zinterpretować jako miarę kąta. Matematycy używają jednak praktycznie wyłącznie radianów. Miara stopniowa jest dość popularna, jednak w stosunku do radianów powoduje pewne komplikacje przy obliczeniach trygonometrycznych:
Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (czyli kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla x = 0 wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla x = 0. Okazuje się, że ogólnie:
Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach (miara łukowa).
Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez 
oraz 
.
Teraz:
We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej (radianów). Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.
Ponadto miara łukowa ma prostą interpretację geometryczną: jest to długość części okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta zawartej w danym kącie.
Miara łukowa jest więc w pewnym sensie wyróżniona wśród wszelkich możliwych miar kątów i najbardziej naturalna, dlatego powszechnie stosuje się ją w matematyce i do niej dostosowane są definicje funkcji trygonometrycznych.
