Funkcje trygonometryczne

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego w zależności od miar jego kątów wewnętrznych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans). Secans i cosecans są obecnie rzadko używane. Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele De revolutionibus orbium coelestium (1543)^[1], choć islamscy matematycy używali jej już w X wieku.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; dział matematyki zajmujący się tymi funkcjami to trygonometria.

[edytuj] Definicje

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

[edytuj] Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego dla danej miary kąta wewnętrznego.

Oznaczenia boków i kątów użyte w definicji z trójkąta prostokątnego

Poniższa tabela pokazuje, które funkcje trygonometryczne wyrażają się przez ilorazy długości odpowiednich boków trójkąta.

	$\tfrac{a}{\cdot}$	$\tfrac{b}{\cdot}$	$\tfrac{c}{\cdot}$
$\tfrac{\cdot}{a}$	$1\$	$\operatorname{ctg}\ \alpha$	$\csc\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{b}$	$\operatorname{tg}\ \alpha$	$1\$	$\sec\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{c}$	$\operatorname{sin}\ \alpha$	$\operatorname{cos}\ \alpha$	$1\$

sinus – oznaczany sin – stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej
cosinus (lub kosinus) – oznaczany cos – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej
tangens – oznaczany tg (tan w krajach anglojęzycznych) – stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego i przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego
cotangens (kotangens) – oznaczany ctg (lub też cot, cotan) – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego
secans (sekans) – oznaczany sec – stosunek przeciwprostokątnej i przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego; odwrotność cosinusa
cosecans (kosekans) – oznaczany cosec lub csc – stosunek przeciwprostokątnej i przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego; odwrotność sinusa

Dla kątów większych od kąta prostego oraz dla kątów skierowanych o mierze ujemnej definicję powyższą można uogólnić, przyjmując ujemną miarę odpowiednich odcinków.

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak sinus versus:

$\operatorname{versin}\ x=1-\cos x$

czy też haversin (ang. half of the versine):

$\operatorname{haversin}\ x = \operatorname{versin}\ \tfrac{x}{2}$

Obecnie jednak są one rzadko spotykane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszcza np. obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi^[2].

[edytuj] Definicja dla kąta skierowanego

Definicja na ramieniu kąta

Jeżeli płaski kąt skierowany $α$ ustawi się tak, że jego wierzchołek znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych $O$ , pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu $O$ oraz zawierającą pewien punkt $M = (a, b)$ różny od $O$ , to funkcje trygonometryczne kąta skierowanego $α$ będą określone wzorami:

$\sin \alpha =\tfrac{b}{r}$
$\cos \alpha =\tfrac{a}{r}$
$\operatorname{tg}\, \alpha =\tfrac{b}{a}$
$\operatorname{ctg}\, \alpha =\tfrac{a}{b}$
$\sec \alpha =\tfrac{r}{a}$
$\csc \alpha =\tfrac{r}{b}$

gdzie $r = | O M |$ .

Stosunki te nie zależą od położenia punktu $M$ na ramieniu kąta $α$ (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów, a w przypadku cosinusa i secansa także z twierdzenia Talesa).

[edytuj] Definicja na okręgu jednostkowym

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:

$\sin \theta =|AC|\$
$\cos \theta =|OC|\$
$\operatorname{tg}\ \theta =|AE|\$
$\operatorname{ctg}\ \theta =|AF|\$
$\sec \theta =|OE|\$
$\csc \theta =|OF|\$

Dla kątów spoza przedziału $[0,π]$ , podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym, konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków.

Alternatywnie jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku DA można przyjąć pole wycinka OBDA – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest właśnie jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do OBDA.

[edytuj] Definicja za pomocą szeregu Taylora

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg Taylora.

Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

W analizie matematycznej funkcje trygonometryczne definiuje się za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Definicje te określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych (z oczywistymi wyjątkami), pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne (w ostatnim przypadku szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0). Definicje te są też stosowane do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości:

$\sin x = x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots =$

$=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots =$

$=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\mbox{tg} x = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \cdots =$

$=\sum^{\infin}_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad,\; |x|<\tfrac{\pi}{2}$

gdzie $B_n\;$ to liczby Bernoulliego

$\mbox{ctg} x= \tfrac {1} {x} - \tfrac {x}{3} - \tfrac {x^3} {45} - \tfrac {2 x^5} {945} - \cdots =$

$=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, 0 < |x| < \pi$

$\sec x = 1 + \tfrac {x^2} {2} + \tfrac {5 x^4} {24} + \tfrac {61 x^6} {720} + \cdots =$

$=\sum^{\infin}_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\; |x|< \tfrac{\pi}{2}$

gdzie $E_n\;$ to liczby Eulera

$\csc x = \tfrac {1} {x} + \tfrac {x} {6} + \tfrac {7 x^3} {360} + \tfrac {31 x^5} {15120} + \cdots =$

$= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, 0 < |x| < \pi$

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Zobacz też: twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

[edytuj] Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych (s, c) taka, że dla każdego $x, y \in\mathbb{R}$ :

$\left\{ \begin{matrix}s(x)^2 + c(x)^2 = 1\\ s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)\\ c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\\ 0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1 \end{matrix}\right.$

Tą parą jest:

$s(x)=\sin x\;$

$c(x)=\cos x\;$

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować^[3] również jako jedyne funkcje $s (x)$ oraz $c (x)$ spełniające poniższe trzy warunki:

$\mbox{W1}\colon s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2)\;$

$\mbox{W2}\colon c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2)\;$

$\mbox{W3}\colon \lim_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1\;$

[edytuj] Definicja za pomocą równań różniczkowych

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

$y^{\prime\prime}=-y$

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:

$y(0)=0\wedge y^\prime(0)=1$

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

$y(0)=1\wedge y^\prime(0)=0$

To równanie różniczkowe opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

[edytuj] Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

[edytuj] Własności

Dziedziną sinusa i cosinusa jest zbiór liczb rzeczywistych.
Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $(2 k - 1)π / 2$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
Cotangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $k π$ , gdzie k jest liczbą całkowitą.
Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału $[ - 1,1]$ . Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .
Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:

$\begin{array}{l l}\sin (-x) = -\sin x & \mbox{tg }(-x) = -\mbox{tg } x \\\cos (-x) = \cos x & \mbox{ctg } (-x) = -\mbox{ctg } x\end{array}$

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba $2π$ a tangensa i cotangensa $π$ :

$\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + k \cdot 2\pi) & \mbox{tg } x = \mbox{tg } (x + k \cdot \pi) \\\cos x = \cos(x + k \cdot 2\pi) & \mbox{ctg } x = \mbox{ctg } (x + k \cdot \pi)\end{array}$ ,

gdzie

k

jest liczbą całkowitą.

Funkcje trygonometryczne są ciągłe w swojej dziedzinie. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe w swoich dziedzinach, lecz ich dziedziny nie obejmują niektórych liczb rzeczywistych.
Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. Natomiast po ograniczeniu zakresu argumentów funkcji do pewnych przedziałów, funkcje te stają się różnowartościowe i będą miały funkcje odwrotne.
$\sin x\;$ oraz $\cos x\;$ są liczbami przestępnymi dla każdego algebraicznego $x$ różnego od 0. Są one liczbami algebraicznymi dla wszelkich $x$ postaci $x=r\pi\;$ , gdzie $r$ jest liczbą wymierną^[4].

[edytuj] Wykresy

[edytuj] Argument rzeczywisty

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą).

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor $\left[-\tfrac{\pi}{2},0\right]$ .

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Sinusoida: wykres funkcji $y=\sin x\;$

Cosinusoida: wykres funkcji $y=\cos x\;$

Tangensoida: wykres funkcji $y=\operatorname{tg}\ x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

Cotangensoida: wykres funkcji $y=\operatorname{ctg}\ x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

Wykres funkcji secans $y=\sec x=1/\cos x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

Wykres funkcji cosecans $y=\csc x=1/\sin x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

[edytuj] Argument zespolony

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem podanym z lewej strony.
	Funkcja sinus Funkcja cosinus Funkcja tangens

[edytuj] Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Tożsamości trygonometryczne.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Najczęściej używane są:

jedynka trygonometryczna:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \,$

definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i kotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa):

$\operatorname{tg}\ x=\tfrac{\sin x}{\cos x}$

$\operatorname{ctg}\ x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$

Wyprowadzenie wzoru $\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

$\sin (x \pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y \,$

$\cos (x \pm y) = \cos x \cdot \cos y \mp \sin x \cdot \sin y \,$

wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

$\sin x \pm \sin y = 2 \sin \tfrac {x \pm y} 2 \cdot \cos \tfrac {x \mp y } 2$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \tfrac {x + y} 2 \cdot \cos \tfrac {x - y } 2$

$\cos x - \cos y = -2 \sin \tfrac {x + y} 2 \cdot \sin \tfrac {x - y } 2$

wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego:

$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x \,$

$\left.\cos 2x = 2\cos^2x - 1 \right.$

wzory na sinus i cosinus kąta połówkowego:

$\left| \sin\tfrac{1}{2}x \right|=\sqrt{\tfrac{1-cos x}{2}}$

$\left| \cos\tfrac{1}{2}x \right|=\sqrt{\tfrac{1+cos x}{2}}$

iloczyn w postaci sumy:

$\cos x \cdot \cos y = \tfrac{\cos (x - y) + \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \sin y = \tfrac{\cos (x - y) - \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \cos y = \tfrac{\sin (x - y) + \sin (x + y)} 2$

wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

Funkcja	Zależność
Sinus	$\sin \alpha = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$
Cosinus	$\cos \alpha = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right)\,$
Tangens	$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,$
Cotangens	$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,$
Secans	$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$
Cosecans	$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

Istnieje niemal mechaniczna metoda upraszczania wyrażeń trygonometrycznych (zob. wzór Eulera).

[edytuj] Wzory redukcyjne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Trygonometryczne wzory redukcyjne .

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do wartości dla kąta ostrego.

	I ćwiartka	II ćwiartka		III ćwiartka		IV ćwiartka
$\phi\;$	$90^\circ-\alpha\;$	$90^\circ+\alpha\;$	$180^\circ-\alpha\;$	$180^\circ+\alpha\;$	$270^\circ-\alpha\;$	$270^\circ+\alpha\;$	$360^\circ-\alpha\;$
$\phi\;$	$\tfrac{\pi}{2}-\alpha\;$	$\tfrac{\pi}{2}+\alpha\;$	$\pi-\alpha\;$	$\pi+\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi-\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi+\alpha\;$	$2\pi-\alpha\;$
$\sin{\phi}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$
$\cos{\phi}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$
$\operatorname{tg}{\phi}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$
$\operatorname{ctg}{\phi}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją ko-funkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać $90^\circ \pm \alpha$ bądź $270^\circ \pm \alpha$ , w przypadkach $0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha$ oraz $180^\circ \pm \alpha$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce wg tabeli:

	I ćwiartka	II ćwiartka	III ćwiartka	IV ćwiartka
$\sin\ \alpha$	+	+	–	–
$\cos\ \alpha$	+	–	–	+
$\operatorname{tg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\operatorname{ctg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\sec\ \alpha$	+	–	–	+
$\csc\ \alpha$	+	+	–	–

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk:

W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie,

W drugiej tylko sinus,

W trzeciej tangens i kotangens,

A w czwartej kosinus.

W innej wersji pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy.

[edytuj] Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 22½°, 30°, 45°, 60°, 90°
radiany	$0\;$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
stopnie	$0^\circ\;$	$15^\circ\;$	${22 \tfrac{1}{2}}^\circ\;$	$30^\circ\;$	$45^\circ\;$	$60^\circ\;$	$90^\circ\;$
$\sin\;$	$0\;$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1\;$
$\cos\;$	$1\;$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0\;$
$\operatorname{tg}\;$	$0\;$	$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$	$\sqrt{2}-1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1\;$	$\sqrt{3}$	nieokreślony
$\operatorname{ctg}\;$	nieokreślony	$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{3}$	$1\;$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0\;$
$\sec\;$	$1\;$	$2\sqrt{2-\sqrt{3}}$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2\;$	nieokreślony
$\csc\;$	nieokreślony	$2\sqrt{2+\sqrt{3}}$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$	$2\;$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1\;$

[edytuj] Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcje odwrotne do trygonometrycznych.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale $y$ obejmującym jeden okres.

Nazwa	Zapis	Odwrotna do	Dziedzina	Przeciwdziedzina
arcus sinus	$y=\operatorname{arcsin}\, x$	$x=\sin y\;$	$[-1,1]\;$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
arcus cosinus	$y=\operatorname{arccos}\, x$	$x=\cos y\;$	$[-1, 1]\;$	$[0, \pi]\;$
arcus tangens	$y=\operatorname{arctg}\,x$	$x=\operatorname{tg}\,y$	$\mathbb{R}$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
arcus cotangens	$y=\operatorname{arcctg}\,x$	$x=\operatorname{ctg}\,y$	$\mathbb{R}$	$[0, \pi]\;$
arcus secans	$y=\operatorname{arcsec}\,x$	$x=\sec y\;$	$\mathbb{R}/\{1\}$	$[0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$
arcus cosecans	$y=\operatorname{arccsc}\,x$	$x=\csc y\;$	$\mathbb{R}/\{-1\}$	$[-\tfrac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \tfrac{\pi}{2}]$

[edytuj] Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości:

$\sin^\prime x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\cos^\prime x = - \sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\operatorname{tg}^\prime x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\operatorname{ctg}^\prime x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x=-(1+\operatorname{ctg}^2 x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\sec^\prime x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg} x\sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\csc^\prime x=-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\operatorname{ctg} x\csc x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

$\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \sin x & n = 4k \\ \cos x & n = 4k + 1 \\ -\sin x & n = 4k + 2 \\ -\cos x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \mathbb N$ ,

$\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \cos x & n = 4k \\ -\sin x & n = 4k + 1 \\ -\cos x & n = 4k + 2 \\ \sin x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \mathbb N$ .

[edytuj] Całki funkcji trygonometrycznych

Podstawowe całki to:

$\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C$

$\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C$

$\int\operatorname{tg} x \,{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C$

$\int\operatorname{ctg} x \,{\rm d}x=\ln|\sin x|+C$

$\int\sec x \,{\rm d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg} x|+C$

$\int\csc x \,{\rm d}x=-\ln|\csc x+\operatorname{ctg} x|+C$

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całka funkcji wymiernej postaci $R (sin x,cos x)$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie

$t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}$

[edytuj] Własności dla argumentów zespolonych

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Tak uogólnione funkcje trygonometryczne zachowują większość własności znanych z przypadku argumentów rzeczywistych. Wyjątkiem jest ograniczoność: na przykład cosinus argumentu urojonego jest liczbą rzeczywistą zawsze większą od 1. W szczególności: $\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543,\; \sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie (sinus przyjmuje wartość $0$ w punktach postaci $x = k π$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą).

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty:

Funkcja	Część rzeczywista	Część urojona	Moduł
$\sin(x\pm iy)$	$\sin x \cosh y\;$	$\pm \cos x\sinh y\;$	$\sqrt{\sin^2 x+\sinh^2 y}$
$\cos(x\pm iy)$	$\cos x \cosh y\;$	$\mp \sin x\sinh y\;$	$\sqrt{\cos^2 x+\sinh^2 y}$
$\operatorname{tg}(x\pm iy)$	$\frac{\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\frac{\sqrt{\sin^2 2x+\sinh^2 2y}}{\cos 2x+\cosh 2y}$

Argument $\varphi\;$ oblicza się według wzorów:

$\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{im}\ \omega}{|\omega|}$

$\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{re}\ \omega}{|\omega|}$ ,

gdzie $\omega\;$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

[edytuj] Związki z innymi funkcjami

[edytuj] Sinus całkowy i cosinus całkowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Sinus i cosinus całkowy.

Całki $\int{\frac{\sin x}{x} dx}$ i $\int{\frac{\cos x}{x} dx}$ są nieelementarne. Ich oznaczone odpowiedniki zwane są sinusem całkowym i cosinusem całkowym.

[edytuj] Harmoniki

Zobacz więcej w osobnym artykule: Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci

$u(t) = A \sin(\omega t + \phi)\;$ ,

gdzie:

A – amplituda
$ω$ – prędkość kątowa (pulsacja)
$φ$ – faza początkowa

są nazywane harmonikami. Mają one duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej samej częstotliwości.

Sinusoidalny ruch prostego oscylatora

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

$x^{\prime\prime}=-kx$

którego rozwiązaniami są harmoniki.

[edytuj] Funkcja sinc

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcja sinc.

Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis), znana również jako funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela $j 0 (x)$ .

$\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\ 1 &\mbox{dla }x =0 \end{cases}$

Funkcja ta ma znaczenie w analizie matematycznej.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

$\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\ 1 &\mbox{dla }x =0 \end{cases}$

[edytuj] Funkcje hiperboliczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcje hiperboliczne.

Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób:

$\mbox{W1}\colon s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2)\;$

$\mbox{W2}\colon c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2)\;$

$\mbox{W3}\colon \lim_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1\;$

Jeśli warunek W2 zmienić na:

$\mbox{W2*}\colon c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2)\;$ ,

wówczas warunki (W1), (W2*), (W3) będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są: sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh). Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Także definicji na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

$x^2+y^2=1\;$

należy wziąć hiperbolę o równaniu

$x^2-y^2=1\;$

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny.

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości (tzw. Wzory Eulera):

$\sin x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$\operatorname{tg} x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{ (e^{ix} + e^{-ix})i}$

$\operatorname{ctg} x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{e^{ix} - e^{-ix}}i$

Dla porównania definicje funkcji hiperbolicznych:

$\sinh x = \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

$\cosh x = \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

$\operatorname{tgh} x = \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$

$\operatorname{ctgh} x = \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone.

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Geometria

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań:

[edytuj] Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Twierdzenie sinusów, Twierdzenie cosinusów, Twierdzenie tangensów.

Graficzny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają tę samą powierzchnię.

Przyjmując standardowe oznaczenia, w każdym trójkącie zachodzą następujące równości:
Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota:

$c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\;$

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana:

${a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}$

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną $\operatorname{haversin}\ x = 1-\cos \tfrac{x}{2}$ , pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze^[2].

[edytuj] Wzór na pole trójkąta

Wzór na pole trójkąta o bokach $a$ i $b$ i kącie pomiędzy nimi miary $α$ :

$S=\frac{ab\sin \alpha}{2}$

[edytuj] Iloczyny wektorów

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Iloczyn skalarny, Iloczyn wektorowy.

W geometrii i algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. tzw. iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach zwrotach i długościach. Wówczas funkcje trygonometryczne są stosowane w poniższych wzorach, gdzie $θ$ jest kątem pomiędzy wektorami:

Iloczyn skalarny:

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \cos \theta$

Iloczyn wektorowy (wzór podaje długość wektora wynikowego):

$|\vec a \times \vec b| = |\vec a| \, |\vec b| |\sin \theta |$

[edytuj] Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Układ współrzędnych biegunowych, Układ współrzędnych sferycznych, Układ współrzędnych walcowych.

Najczęściej w geometrii stosowany jest kartezjański układ współrzędnych. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) i układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

[edytuj] Geometria sferyczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: Geometria sferyczna.

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej i jej zastosowań w astronomii, nawigacji i geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

Zobacz też: reguła Nepera

[edytuj] Teoria liczb

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcja Möbiusa.

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład:

$\sum_{1\le x< n, \operatorname{NWD} (x,n)=1} \cos \left(2\pi\cdot\frac{x}{n}\right)=\mu(n)$ ,

gdzie $\mu(n)\;$ jest tzw. funkcją Möbiusa.

[edytuj] Szereg Fouriera

Zobacz więcej w osobnym artykule: Szereg Fouriera.

Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

Funkcje $\left\{ {1 \over \sqrt{2 \pi}}, {\sin nx \over \sqrt \pi}, {\cos nx \over \sqrt \pi} \right\}$ tworzą dla dowolnego $n \in \mathbb{N}_{+}$ układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe $S(x)\;$ spełniające tzw. warunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

$S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac {2n\pi}{T}x + b_n \sin \frac {2n\pi}{T}x \right)$

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

[edytuj] Zastosowania poza matematyką

Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie

Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:

akustyka: np. analiza harmoniczna,
architektura, mechanika: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
astronomia, nawigacja, kartografia, oceanografia: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
chemia i krystalografia: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
ekonomia (w szczególności analiza rynków finansowych), probabilistyka, statystyka, meteorologia: np. analiza harmoniczna szeregów czasowych
elektryka i elektronika: np. przebiegi sinusoidalne prądu zmiennego
fizyka: np. ruch harmoniczny, prawo załamania światła, zob. też sekcję Harmoniki tego artykułu,
fonetyka, przetwarzanie języka naturalnego: analiza harmoniczna głosek
geodezja, inżynieria lądowa: w szczególności niwelacja trygonometryczna,
geofizyka, sejsmologia: badanie fal sejsmicznych,
grafika komputerowa: np. symulowanie odbicia i załamania światła w ray tracingu
kryptografia: w związku z zastosowaniami w teorii liczb,
obrazowanie medyczne: tomografia komputerowa i USG wymagają obliczeń trygonometrycznych
optyka: prawo załamania światła, polaryzacja,
kompresja obrazu: np. przy kompresji JPEG
robotyka: np. algorytm sterowania sinusoidalnego,
teoria muzyki: np. alikwoty, szereg harmoniczny.

[edytuj] Historia

Trygonometria nie jest wynalazkiem jednego człowieka ani narodu. Jej historia liczy tysiące lat i jest obecna w historii wszystkich cywilizacji.

[edytuj] Egipt i Babilon

tablice Plimpton 322

W starożytnym Egipcie i Babilonie od wieków znano twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych. Jednak społeczeństwa przed Grekami prawdopodobnie nie wynalazły idei miary kąta i w konsekwencji badały tylko boki trójkąta^[5].

Niektórzy badacze uważają, że starożytni Babilończycy zapisali na tabliczkach pisma klinowego Plimpton 322, powstałych ok. 1800-1900 lat p.n.e., tablicę sekansów^[6]. Jednakże według innych interpretacji mogły to być tablice trójek pitagorejskich^[7]^[8] albo rozwiązanie równania kwadratowego^[9]^[10].

[edytuj] Starożytna Grecja

Cięciwa łuku utworzonego przez dany kąt.

Matematycy starożytnej Grecji znali pojęcie cięciwy. Dla danego okręgu i jego części (łuku) cięciwa jest prostą, która przecina okrąg na końcach łuku. Symetralna odcinka cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodzi przez jego środek i dzieli łuk (i tym samym kąt) na pół. Połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta, czyli $\mbox{crd}\ \theta = 2 \sin \tfrac{\theta}{2}$ . Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta^[11].

Jakkolwiek w dziełach Euklidesa i Archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów^[5]. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II Elementów są wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia na temat długości cięciw są zastosowaniem wzoru sinusów. A jedno z twierdzeń Archimedesa jest odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów^[5]. Matematycy za czasów Arystarcha z Samos dla celów obliczeniowych używali m.in. twierdzenia mówiącego, iż (we współczesnej notacji) $\tfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}<\tfrac{\alpha}{\beta}<\tfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta}$ dla 0° < β < α < 90° ^[12].

Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180-125 p.n.e.)^[13]. Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów^[13]^[14]

Średniowieczne przedstawienie Klaudiusza Ptolemeusza

Jakkolwiek nie wiadomo dokładnie, kiedy zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni, przypuszczalnie nastąpiło to wkrótce po napisaniu przez Arystarcha z Samos dzieła O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca ok. 260 p.n.e., gdyż mierzył on kąty w ułamkach kąta prostego ^[12]. Prawdopodobnie podział kąta pełnego na 360 stopni spopularyzował się głównie dzięki Hipparchowi i jego tablicy cięciw. Hipparch mógł podchwycić ideę takiego podziału u Hipsikla, który wcześniej dzielił dobę na 360 części, zapewne wzorując się na babilońskich astronomach^[15]. W starożytnej astronomii ekliptyka została podzielona na 12 "znaków zodiaku" lub 36 dekanów. Roczny cykl około 360 dni można było otrzymać, dzieląc każdy znak na 30 części i każdy dekan na 10 części ^[16]. To dzięki używanemu w Babilonii sześćdziesiątkowemu systemowi liczbowemu każdy stopień został podzielony na 60 minut kątowych, a każda minuta na 60 sekund kątowych^[16].

Menelaos z Aleksandrii (ok 100 n.e.) napisał trzy księgi pod tytułem Sphaerica. W Księdze I sformułował dla trójkątów sferycznych odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie^[11]. Sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej, mówiące, że dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary (utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych)^[11]. Menelaos zauważył także, że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°^[11]. Księga II Sphaerica dotyczyła zastosowań geometrii sferycznej do astronomii. Księga III zawierała "twierdzenie Menelausa"^[11].

Później Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 - ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele Almagest koncepcję "cięciw na okręgu" Hipparcha. Trzynasta księga Almagestu była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii^[17]. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie Ptolemeusza. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru

$\sin^2 \tfrac{x}{2} = \tfrac{1 - \cos x}{2}$

Ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia tablic trygonometrycznych, choć nie wiadomo, czy nie były one wyprowadzone z dzieła Hipparcha^[17].

Ani tablice Hipparcha, ani Ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych, choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały^[18].

[edytuj] Średniowieczne Indie

Posąg Aryabhaty

Kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w Indiach. Indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476–550 n.e.) w swoim dziele Aryabhata-Siddhanta po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy, a także cosinus, sinus versus ( $1 - cos x$ ) i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj (zobacz sekcję Etymologia nazw).

Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. W VI wieku n.e. Varahamihira używał wzorów:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1\;$

$\sin x = \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right)$

$\tfrac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^2 x$

W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):

$\sin x \approx \tfrac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad \left(0 \leq x \leq \tfrac{\pi}{2} \right)$

W końcu VII wieku, Brahmagupta wyprowadził wzór:

$\ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x = \sin^2\left(\tfrac{\pi}{2} - x \right)$

- oraz wzór interpolacyjny Brahmagupty na wyliczanie wartości sinusa.

[edytuj] Świat islamu

Al-Chuwarizmi sportretowany na radzieckim znaczku pocztowym

Prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków. W IX wieku Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi wyliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.

W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa Abu al-Wafa. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \;$

Wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi, pierwszy traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne Bhāskara Acārya i Nasir al-Din Tusi w XIII wieku. Nasir al-Din Tusi sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów, sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.

W XIV wieku Ghiyath al-Kashi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej. Uług Beg (XIV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych.

[edytuj] Średniowieczne Chiny

Guo Shoujing (1231-1316)

Tablice sinusów Aryabhaty zostały przetłumaczone na chiński i umieszczone w klasycznym dziele Kaiyuan Zhan Jing, skompilowanym w 718 roku w okresie dynastii Tang^[19]. Jakkolwiek Chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki, takich jak stereometria, czy algebra, to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku Greków, Hindusów i muzułmanów^[20]. Powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie dynastii Song (960-1279), kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej^[19]. Na przykład Szen Kua (1031-1095) używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami ^[19]. Jak twierdzą historycy L. Gauchet i Joseph Needham, inny matematyk, Guo Shoujing (1231-1316) używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych^[21]^[19].

[edytuj] Renesansowa Europa

Regiomontanus był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem, który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną. Napisał w 1464 De triangulis omnimodus, a później Tabulae directionum.

Opus palatinum de triangulis autorstwa Georga Joachima Rheticusa, studenta Kopernika, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.

W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.

[edytuj] Historia analizy trygonometrycznej

Madhava (około roku 1400) stworzył podwaliny analizy matematycznej funkcji trygonometrycznych, odkrywając rozwinięcie funkcji w szeregi nieskończone. Badał on koncepcje szeregów potęgowych oraz pewnego szeregu, nazwanego później w Europie szeregiem Taylora i wyliczył rozwinięcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Używając aproksymacji sinusa i cosinusa szeregiem Taylora, stworzył tablice sinusa z 12 miejscami znaczącymi i cosinusa z 9 miejscami znaczącymi. Podał także rozwinięcie π w szereg potęgowy. Jego prace były rozwijane przez jego następców ze szkoły astronomicznej w Kerala aż do XVI wieku^[22]^[23].

Introductio in analysin infinitorum Leonharda Eulera z 1748 roku stworzyło grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych w Europie, definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając "wzór Eulera". Euler używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych: sin., cos., tang., cot., sec., i cosec.

James Gregory, a następnie Brook Taylor badali szeregi, znane dziś jako szeregi Taylora. Ten ostatni znalazł rozwinięcia i aproksymacje wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych. Duże znaczenie na tym polu miały również prace Colina Maclaurina.

[edytuj] Etymologia nazw

Definicja na okręgu jednostkowym

Definicja na okręgu jednostkowym była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym. Definicję opartą na trójkącie prostokątnym stworzyli dopiero uczniowie Mikołaja Kopernika (zobacz sekcję Historia – Renesansowa Europa niniejszego artykułu).

Sinus, czyli połowa długości cięciwy AB, był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
Tangens oznacza po łacinie dotykający, styczny, gdyż odcinek AE jest styczny do okręgu.
Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka OE, odcinanego przez styczną (tangens).
Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi kąta dopełniającego $\angle AOF$ . Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi kąta dopełniającego. Przedrostek "ko-" był używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty.

[edytuj] Polskie nazwy

Poloniści dopuszczają zarówno formy "cosinus, cotangens, cosecans, secans", jak i "kosinus, kotangens, kosekans, sekans". Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego^[24], jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane. W tym artykule są zatem również używane formy niespolszczone.

Już pod koniec XVIII wieku Jan Śniadecki próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych^[25]:

Sinus miał się nazywać wstawa (skrót wst)
Cosinus – dostawa (skrót dost)
Tangens – styczna (skrót sty)
Cotangens – dostyczna (skrót dosty)
Secans – sieczna (skrót sie)
Cosecans – dosieczna (skrót dosie)

Propagował je potem np. Andrzej Radwański w dziele "Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych... bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia" wydanym w 1850 roku^[26]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny.

Rektor Szkoły Politechnicznej we Lwowie, prof. Maksymilian Thullie (1853-1939), próbował polskie nazwy forsować w latach 1918-1924^[27]. Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się.

[edytuj] Przypisy

↑ Astronomia i Kosmos: Mikołaj Kopernik.
Nikolaus-Kopernikus-Straße (de).
↑ ^2,0 ^2,1 zob. Haversine formula w angielskiej wikipedii
↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. S. 295.
↑ Rusin, Dave: algebraic numbers query (en). [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Boyer: A History of Mathematics. 1991, ss. 158-159.
↑ Joseph: The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 2000, ss. 383–4.
↑ Evert M. Bruins: On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian mathematics. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings 52, 1949, ss. 629–632.
↑ Evert M. Bruins: Pythagorean triads in Babylonian mathematics: The errors on Plimpton 322. Sumer 11, 1951, ss. 117–121.
↑ Robson, Eleanor. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322. Historia Math.. 28, 3, 167-206. 2001. (en)
↑ Robson, Eleanor. Words and pictures: new light on Plimpton 322. American Mathematical Monthly. 109, 2, 105–120. 2002. (en)
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 ^11,4 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 163.
↑ ^12,0 ^12,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 159.
↑ ^13,0 ^13,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 162.
↑ O'Connor, J.J. i Robertson, E.F.: Trigonometric functions w: MacTutor History of Mathematics Archive (en). 1996.
↑ Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 162.
↑ ^16,0 ^16,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, ss. 166-167.
↑ ^17,0 ^17,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, ss. 164-166.
↑ Boyer: A History of Mathematics. 1991, ss. 158–168.
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 Needham: Science and Civilization in China. T. 3. 1986, s. 109.
↑ Needham: Science and Civilization in China. T. 3. 1986, ss. 108-109.
↑ Gauchet: Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King. S. 151.
↑ O'Connor, J.J. i Robertson, E.F.: Madhava of Sangamagramma (en). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 2000.
↑ Pearce, Ian G.: Madhava of Sangamagramma (en). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 2002.
↑ hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN. [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
↑ Pasternak, Mateusz: Anegdoty matematyczne. [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ Ciesielski, Roman i Tyńska, Katarzyna: [http://riad.pk.edu.pl/~naszapol/np40/sawicki.shtml Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki]. [dostęp 12 kwietnia 2008].

[edytuj] Bibliografia

Carl B. Boyer: A History of Mathematics. Wyd. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0-471-54397-7.
L. Gauchet: Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King. 1917.
George G. Joseph: The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Wyd. 2. Londyn: Penguin Books, 2000. ISBN 0-691-00659-8.
Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
Joseph Needham: Science and Civilization in China: tom 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd., 1986.
O'Connor, J.J. i Robertson, E.F.: Trigonometric functions (en). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 1996.
O'Connor, J.J. i Robertson, E.F.: Madhava of Sangamagramma (en). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 2000.
Pearce, Ian G.: Madhava of Sangamagramma (en). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 2002.
Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. ISBN 83-7469-189-1.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Dobre artykuły • Trygonometria

We provide Linux to the World

Funkcje trygonometryczne

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

[edytuj] Definicja dla kąta skierowanego

[edytuj] Definicja na okręgu jednostkowym

[edytuj] Definicja za pomocą szeregu Taylora

[edytuj] Definicja za pomocą równań funkcyjnych

[edytuj] Definicja za pomocą równań różniczkowych

[edytuj] Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

[edytuj] Własności

[edytuj] Wykresy

[edytuj] Argument rzeczywisty

[edytuj] Argument zespolony

[edytuj] Podstawowe tożsamości trygonometryczne

[edytuj] Wzory redukcyjne

[edytuj] Wartości dla typowych kątów

[edytuj] Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

[edytuj] Pochodne funkcji trygonometrycznych

[edytuj] Całki funkcji trygonometrycznych

[edytuj] Własności dla argumentów zespolonych

[edytuj] Związki z innymi funkcjami

[edytuj] Sinus całkowy i cosinus całkowy

[edytuj] Harmoniki

[edytuj] Funkcja sinc

[edytuj] Funkcje hiperboliczne

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Geometria

[edytuj] Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów

[edytuj] Wzór na pole trójkąta

[edytuj] Iloczyny wektorów

[edytuj] Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe

[edytuj] Geometria sferyczna

[edytuj] Teoria liczb

[edytuj] Szereg Fouriera

[edytuj] Zastosowania poza matematyką

[edytuj] Historia

[edytuj] Egipt i Babilon

[edytuj] Starożytna Grecja

[edytuj] Średniowieczne Indie

[edytuj] Świat islamu

[edytuj] Średniowieczne Chiny

[edytuj] Renesansowa Europa

[edytuj] Historia analizy trygonometrycznej

[edytuj] Etymologia nazw

[edytuj] Polskie nazwy

[edytuj] Przypisy

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach