Dyskusja:Moc zbioru

Z Wikipedii

"Łatwo jednak przekonać się, że zbiory liczb naturalnych i całkowitych mają tę samą moc (są równoliczne). Wystarczy zacząć wypisywać wszystkie liczby całkowite w ciąg:

0, -1, 1, 2, -2, 3, -3, 4, -4,..." Dlaczego? Przecierz nie istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb całkowitycj.

--

Ta funkcja jest właśnie napisana powyżej. Bardziej formalnie: f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2 etc.

Jest ona różnowartościowa z oczywistych względów i "na" z niemal równie oczywistych - argumentem, który przechodzi na liczbę całkowitą n jest 2n-1, gdy n jest dodatnie, a 2n jeśli n jest ujemne bądź zerem.

Pbn

Nawet bardziej formalnie: . -- Alef 19:28, 11 kwi 2005 (CEST)

[edytuj] Większe zbiory?

Słyszałem, że dla każdego zbioru nieskończonego można skonstruować zbiór o mocy większej. Czy ktoś może udzieli mi przykładu zbioru większego od zbioru liczb rzeczywistych? Po głowie chodzi mi taki przykład (może wyda się prawdziwym matematykom śmieszny) - zbiór punktów w figurze geometrycznej o nieskończonej liczbie wymiarów. Pozdrawiam, licealista.

Masz taki przykład w artykule – sekcja Rys historyczny:

zbiór wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru jest większej mocy niż zbiór wyjściowy (twierdzenie Cantora).

CiaPan (Odp.) 19:11, 1 lut 2006 (CET)

Liczba punktów w odcinku o długości jeden (np. o końcach w zerze i jednynce) jest taka sama jak na całej prostej, a nawet więcej: na całej płaszczyźnie, całej przestrzeni itd. Działa to dla dowolnego wymiaru, nawet nieskończonego. Dlatego też figura nieskończenie wymiarowa (przestrzeń nieskońćzenie wymiarowa) ma moc taką, jak najmniejszy odcinek. Ale są nieskończoności większe. Można powiedzieć nawet więcej: jest więcej różnych nieskończoności niż dowolna nieskończoność (w szczególności jest więcej nieskończoności niż liczb rzeczywistych). -- 83.27.49.161 14 sty 2007, 83.27.35.110 15 sty 2007 ← podpis dodał CiaPan (Odp.)

Trzeba pamiętać Cantor wymyślił tylko jeden ze sposobów klasyfikacji zbiorów nieskończonych - podział ich na te o mocy alef zero i continuum jest najbardziej ogólny. Istnieją inne! --195.150.224.33 29 maja 2007 ← podpis dodał CiaPan (Odp.)

Mieszasz pojęcia! Cantor NIE "wymyślił (...) podział ich na te o mocy alef zero i continuum". Cantor zajmując się zbiorami nieskończonymi wiedział m.in. że istnieją różne moce zbiorów nieskończonych i że istnieje wśród nich relacja większości, wynikająca z zawierania się zbiorów (czyli przynajmniej częściowy porządek). Dwie z tych nieskończonych mocy zostały nazwane 'alef zero' i 'continuum', lecz bynajmniej nie oznacza to podziału zbiorów – są to dwie różne moce, ale jest oczywiste, że mocy jest "o niebo więcej" (hierarchia liczb kardynalnych jest nieskończona!). Tak więc mowa o "podziale" ma akurat tyle sensu, co gdyby powiedzieć że liczby całkowite podzielono na zero, jedność i dwa. Nie! Nie podzielono (zob. podział zbioru), a jedynie wyróżniono niektóre wartości. --CiaPan (Odp.) 07:28, 18 lip 2007 (CEST)

[edytuj] Przykłady innych liczb kardynalnych

Przy czytaniu tego jakoś umyka mi informacja, czy udało się w końcu dowieść, iż istnieją inne liczby kardynalne pomiędzy Alef_0 a Continuum (dokonania Cohena). Dobrze byłoby podać jakiś przykład. --Robertsurma 16:59, 7 paź 2007 (CEST)

Udało się dowieść, że nie da się tego ani dowieść, ani temu zaprzeczyć. Odpowiedź na to pytanie nie wynika z teorii mnogości i może być uważana za jej dodatkowy aksjomat. Olaf @ 17:50, 7 paź 2007 (CEST)

Patrz Hipoteza continuum, Paul Cohen. --CiaPan (Odp.) 09:58, 8 paź 2007 (CEST)