Objętość (matematyka)
Z Wikipedii
Objętość jest miarą przestrzeni.
Spis treści |
[edytuj] Konstrukcja pojęcia
W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:
- Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach a1.
- Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy policzyć oznaczmy przez n1.
Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach a2 < a1, a3 < a2, itd. uzyskamy ciąg liczb n1,n2,.... Objętością nazywamy granicę:
.
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.
Przykład: zbiory
oraz
mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.
Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.
Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.[edytuj] Objętość pod powierzchnią
Objętość między powierzchnią daną równaniem z = f(x,y), a płaszczyzną OXY w obszarze x1 < x < x2,y1 < y < y2 jest równe całce podwójnej
.
[edytuj] Jednostki objętości
Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.
