Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Z Wikipedii
Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe, rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.
Proces został nazwany na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego, oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego.
[edytuj] Proces ortogonalizacji
Operator rzutowania ortogonalnego wektora na wektor definiujemy jako:
Wówczas dla układu k wektorów proces przebiega następująco:
Otrzymany zbiór jest zbiorem wektorów ortogonalnych.
Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:
Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.
Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni unitarnej.
[edytuj] Funkcje ciągłe
Jeżeli iloczyn skalarny funkcji ciągłych jest określony wzorem:
gdzie w(x) jest funkcją wagową, to dla zbioru funkcji liniowo niezależnych przekształcenie w zbiór funkcji ortogonalnych przebiega następująco:
- g0(x) = f0(x)
Iloczyn skalarny funkcji gi(x) i gj(x) dla różnych i,j wynosi (bez straty ogólności przyjmijmy, że i > j):
Jeśli dla wszystkich różnych par j,k mniejszych od i iloczyn skalarny wynosi 0, to: