Iloczyn skalarny

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych. Zobacz też: iloczyn skalarny określany w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych.

Iloczyn skalarny – operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Artykuł ten traktuje o standardowym iloczynie skalarnym określanym na przestrzeniach euklidesowych, który zwykle nazywany jest właśnie standardowym, bądź euklidesowym, dlatego niżej te określenia są pomijane.

Spis treści

1 Definicja i przykłady
2 Interpretacja geometryczna
3 Fizyka
4 Własności
5 Reprezentacja macierzowa
- 5.1 Przykład
6 Uogólnienia
7 Dowód interpretacji geometrycznej
8 Zobacz też
9 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja i przykłady

Iloczyn skalarny dwóch wektorów (z rozważanej przestrzeni euklidesowej) $\mathbf a = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ oraz $\mathbf b = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ wynosi z definicji

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^n~a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$ .

Przykładowo iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów $(1,3, - 5)$ oraz $(4, - 2, - 1)$ jest równy

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) = 3$ .

Korzystając z mnożenia macierzy i traktując wektory (kolumnowe) jako macierze wymiaru $n \times 1$ , iloczyn skalarny można także zapisać jako

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a^T \mathbf b$ ,

gdzie $\mathbf a^T$ oznacza transpozycję macierzy $\mathbf a$ .

W powyższym przykładzie uzyskamy wówczas mnożenie $1 \times 3$ -macierzy (np. wektora) przez $3 \times 1$ -wektor (który ze względu na naturę mnożenia macierzy da w wynika $1 \times 1$ -macierz, np. skalar):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}$ .

[edytuj] Interpretacja geometryczna

|a|•cos(θ) jest rzutem skalarnym a na b

W przestrzeni euklidesowej istnieje silna zależność między iloczynem skalarnym a długością i kątem. Dla wektora $\mathbf a$ , $\mathbf a \cdot \mathbf a$ jest kwadratem jego długości, a ogólniej, jeśli $\mathbf b$ jest innym wektorem, to

$\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \, |\mathbf b| \cos \theta$ ,

gdzie

$|\mathbf a|, |\mathbf b|$ oznaczają długość (wartość) $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ ,

θ

jest kątem między nimi.

Ponieważ $|\mathbf a| \cos \theta$ jest rzutem skalarnym $\mathbf a$ na $\mathbf b$ , iloczyn skalarny może być rozumiany geometrycznie jako iloczyn tego rzutu przez długość $\mathbf b$ .

Ponieważ cosinus $90^\circ$ wynosi zero, to iloczyn skalarny dwóch prostopadłych wektorów jest zawsze równy zeru. Jeżeli $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ mają długość jeden (są wersorami), to iloczyn skalarny daje w wyniku po prostu kosinus kąta między nimi. Dlatego dla danych dwóch wektorów, kąt między nimi może być wyznaczony przez przekształcenie powyższego wzoru:

$\theta = \arccos \left(\tfrac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}\right)$ .

Czasem własności te służą jako definicja iloczynu skalarnego, szczególnie w dwóch lub trzech wymiarach. Oczywiście definicja ta jest równoważna powyższej. Dla wyższych wymiarów wzór ten może być użyty do zdefiniowania pojęcia kąta.

Własności geometryczne uzależnione są od bazy wektorów prostopadłych o jednostkowej długości. Można przyjąć takiej bazy lub użyć dowolnej bazy i zdefiniować długość oraz kąt (włączając w to prostopadłość) jak wyżej.

Jak pokazuje interpretacja geometryczna, iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na izometryczne zmiany bazy: obroty, odbicia oraz kombinacje przy zachowaniu początku.

Innymi słowy i ogólniej dla dowolnego $n$ iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na zmianę współrzędnych obrazowaną macierzą ortogonalną. Odpowiada to następującym dwóm warunkom:

nowa baza jest także ortonormalna (tzn. jest ortonormalna w stosunku do poprzedniej),
nowe wektory bazy mają taką samą długość jak stare (tzn. jednostkowe, jeżeli są wyrażone wektorami starej bazy)

[edytuj] Fizyka

W fizyce iloczyn skalarny jest w powszechnym użyciu, co wynika bezpośrednio z faktu, że zarówno w fizyce klasycznej jak i kwantowej matematyczną podstawę stanowią przestrzenie liniowe z określonym iloczynem skalarnym, przykładami mogą być:

trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa $\mathbb R^3$ ,
przestrzeń Hilberta w mechanice kwantowej.

W zależności od dziedziny fizyki oraz kontekstu używane są różne notacje dla oznaczenia iloczynu skalarnego

$\vec a \cdot \vec b$ , gdzie $\vec a , \vec b$ są wektorami w $\mathbb R^3$ ;
$\mathbf a \cdot \mathbf b$ , gdzie $\mathbf a , \mathbf b$ są wektorami w $\mathbb R^3$ .

Iloczyn wewnętrzny bywa też oznaczany

$\langle x|y \rangle$ , gdzie $\langle x|, | y \rangle$ są wektorami przestrzeni Hilberta (zob. notacja Diraca).

Wielkością fizyczną będącą iloczynem wewnętrznym jest np. praca mechaniczna, która jest iloczynem skalarnym siły i przemieszczenia.

[edytuj] Własności

Następujące własności są prawdziwe dla dowolnych wektorów $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ oraz dowolnego skalara $r$ :

przemienność:

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a$ ,
rozdzielność względem dodawania:

$\mathbf a \cdot (\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c$ ,
dwuliniowość:

$\mathbf a \cdot (r\mathbf b + \mathbf c) = r(\mathbf a \cdot \mathbf b) + (\mathbf a \cdot \mathbf c)$ .

Przy mnożeniu przez wartość skalarną zachodzi następująca równość:

$(c_1\mathbf a) \cdot (c_2\mathbf b) = (c_1c_2) (\mathbf a \cdot \mathbf b)$ .

Ostatnie dwie własności wynikają z dwóch pierwszych.

Dwa niezerowe wektory $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf a \cdot \mathbf b = 0$ .

Jeżeli $\mathbf b$ jest wektorem jednostkowym, to iloczyn skalarny określa wartość rzutu $\mathbf a$ w kierunku $\mathbf b$ , ze znakiem ujemnym, jeżeli kierunek jest przeciwny. Często przydatne jest rozkładanie wektorów w celu ich wygodnego dodawania, np. obliczania siły wypadkowej w mechanice.

W przeciwieństwie do mnożenia liczb, gdzie jeżeli $a b = a c$ , to o ile $a \ne 0$ to $b = c$ , dla iloczynu skalarnego nie zachodzi prawo skracania. Jeżeli $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf c$ , to korzystając z prawa rozdzielności możemy zapisać równoważną równość $\mathbf a \cdot (\mathbf b - \mathbf c) = 0$ . Jest ona spełniona, gdy czynniki są ortogonalne, czyli zachodzi dowolna kombinacja warunków:

pierwszy wektor jest zerowy: $\mathbf a = \mathbf 0$ , lub
drugi wektor jest zerowy: $\mathbf b - \mathbf c = \mathbf 0$ , czyli $\mathbf b = \mathbf c$ , lub
wektory są prostopadłe: $\mathbf a \perp (\mathbf b - \mathbf c)$ .

Spełnienie trzeciego warunku prowadzi więc do spełnienia równości $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf c$ , nawet gdy $\mathbf a \ne \mathbf 0$ i $\mathbf b \ne \mathbf c$ .

[edytuj] Reprezentacja macierzowa

Iloczyn wewnętrzny może być przedstawiony w formie macierzy. Niech dane będą dwa wektory

$\mathbf a = \begin{pmatrix} a_\mathbf au \\ a_\mathbf av \\ a_\mathbf aw \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix} b_\mathbf au \\ b_\mathbf av \\ b_\mathbf aw \end{pmatrix}$

wyrażone w bazie $S$ ,

$\mathbf S = \{\mathbf u, \mathbf v ,\mathbf w \} = \left\{ \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \right\}$ .

wówczas każdy iloczyn wewnętrzny może być przedstawiony następująco:

$\langle \mathbf a , \mathbf b \rangle = \mathbf a^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf b$ ,

gdzie $\mathbf M$ jest reprezentacją $3 \times 3$ -macierzową iloczynu wewnętrznego. Dla danej macierzy iloczynu wewnętrznego w bazie $\mathbf S$ oznaczanej $\mathbf{C_S}$ , macierz $\mathbf M$ może być obliczona przez rozwiązanie następującego układu równań:

$\mathrm{C_S} = \begin{pmatrix} \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle & \langle \mathbf u, \mathbf v \rangle & \langle \mathbf u, \mathbf w \rangle \\ \langle \mathbf v, \mathbf u \rangle & \langle \mathbf v, \mathbf v \rangle & \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle \\ \langle \mathbf w, \mathbf u \rangle & \langle \mathbf w, \mathbf v \rangle & \langle \mathbf w, \mathbf w \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf u^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf u & \mathbf u^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf v & \mathbf u^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf w \\ \mathbf v^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf u & \mathbf v^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf v & \mathbf v^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf w \\ \mathbf w^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf u & \mathbf w^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf v & \mathbf w^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf w \end{pmatrix}$

[edytuj] Przykład

Dany jest zbiór bazowy

$\mathbf S = \{ \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

oraz macierz iloczynu wewnętrznego wyrażonego w $\mathbf S$ ,

$\mathrm{C_S} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ .

Możemy przyrównać każdy element $C S$ do iloczynu skalarnego dwóch wektorów bazowych wg wzoru

$\mathrm{C_S}[i,j] = \langle \mathrm S[i],\mathrm S[j] \rangle$

$\mathrm{C_S}[0,0] = 5 = \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \mathbf M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\mathrm{C_S}[0,1] = 2 = \langle \mathbf u,\mathbf v \rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \mathbf M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\cdots$ .

Tym sposobem otrzymujemy dziewięć równań i tyleż niewiadomych. Ich rozwiązanie daje $\mathbf M = \begin{pmatrix} 5 & -3 & -2 \\ -3 & 7 & -2 \\ -2 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

[edytuj] Uogólnienia

Iloczyn skalarny uogólnia się na abstrakcyjne przestrzenie liniowe nazywane wtedy przestrzeniami unitarnymi, wówczas oznacza się go zwykle $\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$ . Ze względu na interpretację geometryczną iloczynu skalarnego norma $\|\mathbf a\|$ wektora $\mathbf a$ w takiej przestrzeni unitarnej zdefiniowana jest jako

$\|\mathbf a\| = \sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle}$

tak, że uogólnia długość oraz kąt $θ$ między dwoma wektorami $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ przez

$\cos \theta = \tfrac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\|\mathbf a\| \, \|\mathbf b\|}$ .

W szczególności dwa wektory uważa się za ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi zero,

$\mathbf a \cdot \mathbf b = 0$ .

Iloczyn wewnętrzny Frobeniusa określa iloczyn wewnętrzny na macierzach, jak gdyby były one wektorami dwuwymiarowymi, sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów.

[edytuj] Dowód interpretacji geometrycznej

Uwaga: Ten dowód przeprowadzony jest dla wektorów trójwymiarowych, ale łatwo uogólnia się na wektory $n$ -wymiarowe.

Rozważmy wektor

$\mathbf v = v_1 \mathbf i + v_2 \mathbf j + v_3 \mathbf k.$ .

Kilkakrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa daje długość $\mathbf v$

$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$ .

Jest to jednak to samo, co

$\mathbf v \cdot \mathbf v = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$ ,

a więc wnosimy stąd, że wzięcie iloczynu wektora $\mathbf v$ przez samego siebie daje kwadrat jego długości.

Lemat 1: $\mathbf v \cdot \mathbf v = v^2$ .

Rozważmy teraz dwa wektory $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ zaczepione w początku układu, skierowane do siebie pod kątem $θ$ . Trzeci wektor $\mathbf c$ może być zdefiniowany jako

$\mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf a - \mathbf b$ ,

tworząc przy tym trójkąt o bokach $a, b, c$ . Zgodnie z twierdzeniem cosinusów mamy

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cosθ

Podstawiając iloczyny skalarne za podniesione do kwadratu długości, zgodnie z lematem 1, otrzymujemy

$\mathbf c \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 ab \cos \theta$ (1)

Ponieważ $\mathbf c = \mathbf a - \mathbf b$ , mamy również

$\mathbf c \cdot \mathbf c = (\mathbf a - \mathbf b) \cdot (\mathbf a - \mathbf b)$ ,

co, zgodnie z prawem rozdzielności, rozszerza się do

$\mathbf c \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b -2(\mathbf a \cdot \mathbf b)$ (2)

Łącząc obydwa równania $\mathbf c \cdot \mathbf c$ , (1) oraz (2), dostajemy

$\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b -2(\mathbf a \cdot \mathbf b) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 ab \cos\theta$ .