Półnorma

Z Wikipedii

Półnorma - podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm
5 Bibliografia

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Funkcję $p\colon X\to\mathbb{R}$ nazywamy półnormą w przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ dla wszystkich $x,y\in X$ ,
$p (α x) = | α | p (x)$ dla wszystkich $\alpha\in K$ oraz $x\in X$ .

[edytuj] Własności

Jeżeli $p$ jest półnormą w przestrzeni $X$ , to

$|p(x)-p(y)|\leq p(x-y)$ dla wszystkich $x,y\in X$ ,
$p(x)\geq 0$ dla wszystkich $x,y\in X$ ,
$p (0) = 0$ .

Ponadto zbiór

$\{x\in X\colon\, p(x)=0\}$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$ , a zbiór

$\{x\in X\colon\, p(x)<1\}$

jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz $p$ jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

[edytuj] Przykłady

Jeżeli $A\subseteq X$ jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał Minkowskiego $μ A$ jest półnormą.
Każda norma jest półnormą.

[edytuj] Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm

Jeśli $X$ jest przestrzenią liniową, to rodzinę $\mathcal{P}$ półnorm w przestrzeni $X$ nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X\setminus\{0\}$ istnieje półnorma $p\in\mathcal{P}$ , że $p(x)\neq 0$ .

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego

$\{\mu_A\colon\, U\in \mathcal{B}\}$ ,

gdzie $\mathcal{B}$ jest bazą lokalną przestrzeni $X$ , złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

[edytuj] Twierdzenie o wprowadzaniu topologii

Niech $\mathcal{P}$ będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej $X$ oraz

$U(p,n)=\{x\in X\colon\, p(x)<\tfrac{1}{n}\}$ dla $p\in P$ i $n\in\mathbb{N}$ ,

$\mathcal{B}=\big\{\bigcap_{k=1}^m U(p_k, n_k)\colon\, p_1,\ldots, p_m\in\mathcal{P},\, n_1,\ldots, n_m\in\mathbb{N},\, m\in\mathbb{N}\big\}$ ,

$\mathcal{B}(x)=\{x+U\colon\, U\in\mathcal{B}\}$ dla $x\in X$ ,

$\mathcal{T}=\big\{\bigcup \mathcal{R}\colon\, \mathcal{R}\subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}(x)\big\}$ .

Wówczas

$(X, +, \cdot, \mathcal{T})$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a $\mathcal{B}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
Każda półnorma z rodziny $\mathcal{P}$ jest funkcją ciągłą.
Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej $p\in \mathcal{P}$ istnieje $M\in (0,\infty)$ , że dla każdego $x\in A$

$p(x)\leq M$ .

Ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ punktów przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy $p\in\mathcal{P}$

$\lim_{n\to\infty}p(x_n-x)=0$ .

[edytuj] Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych

Jeżeli $X$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a $\mathcal{B}$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm

$\{\mu_A\colon\, U\in \mathcal{B}\}$

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni $X$ .

[edytuj] Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm

Jeżeli $\mathcal{P}$ jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni $X$ , a $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja $\varrho\colon X\times X\to [0,\infty)$ dana wzorem

$\varrho(x,y)=\max\{\varepsilon_n \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\colon\, n\in\mathbb{N}\}$

jest metryką w zbiorze $X$ wyznaczającą topologię topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny $\mathcal{P}$ . Ponadto $\varrho$ jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, tzn.

$\varrho(x+z,y+z)=\varrho(x,y)$

dla $x,y,z\in X$ oraz każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym. Ponadto, jeśli przestrzeń jest lokalnie wypukła, to każda kula o środku w zerze jest zbalansowanym zbiorem wypukłym.

[edytuj] Bibliografia

Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.

Kategoria: Analiza funkcjonalna

We provide Linux to the World

Półnorma

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm

[edytuj] Twierdzenie o wprowadzaniu topologii

[edytuj] Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych

[edytuj] Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj