Prostopadłość

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrii elementarnej. Zobacz też: ortogonalność – uogólnienie pojęcia na przestrzenie unitarne.

Rys. 1: Prosta AB jest prostopadła do prostej CD, ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe. Zgodnie z rys. 1 prosta $A B$ jest prostopadła do $C D$ w punkcie $B$ .

Jeżeli prosta jest prostopadła do innej, jak pokazano na rys. 1, wszystkie kąty stworzone przez ich przecięcie nazywa się kątami prostymi (mają one miarę ½п radianów lub 90°). Odwrotnie, dowolne proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.

[edytuj] Kryteria liczbowe

[edytuj] Kierunki

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste mogą być opisane równaniami:

a x + b y + e = 0

c x + d y + f = 0

Proste te są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a c + b d = 0$

Dla prostych niepionowych równania mogą przybrać postać:

y = a x + b

y = c x + d

Wartości $a$ oraz $c$ nazywamy wówczas współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się do zależności $a c = - 1$ .

Proste prostopadłe do pionowych są zawsze poziome, a prostopadłe do poziomych - pionowe. Wszystkie proste poziome są prostopadłe do wszystkich prostych pionowych; to jest dla dowolnej prostej poziomej $P : x = p$ oraz prostej pionowej $Q : y = q$ , gdzie $p$ i $q$ są stałe, $P \perp Q$ .

[edytuj] Kreślenie prostopadłej

Rys. 2: Konstrukcja prostopadłej PQ do prostej AB w punkcie P.

Aby skonstruować prostopadłą do prostej $A B$ w punkcie $P$ za pomocą cyrkla i linijki należy (zobacz rys. 2):

krok 1 (czerwony): nakreślić okrąg o środku $P$ , aby znaleźć na prostej $A B$ równoodległe od $P$ punkty $A'$ i $B'$ ;
krok 2 (zielony): nakreślić okręgi o środkach w $A'$ oraz $B'$ , oba przechodzące przez $P$ . Przez $Q$ oznaczymy drugi z punktów przecięcia tych dwóch okręgów.
krok 3 (niebieski): połączyć $P$ oraz $Q$ , aby skonstruować szukaną prostopadłą $P Q$ .

Aby udowodnić, że $P Q$ jest prostopadła do $A B$ , korzystamy z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów $Q P A'$ oraz $Q P B'$ , aby wywnioskować, iż kąty $O P A'$ i $O P B'$ są równe. Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów $O P A'$ oraz $O P B'$ wnioskujemy, że także kąty $P O A$ i $P O B$ są sobie równe.

[edytuj] Związek z prostymi równoległymi

Rys. 3: Proste a i b są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną c.

Jak pokazano na rys. 3, jeżeli dwie proste ( $a$ oraz $b$ ) są obie prostopadłe do trzeciej prostej ( $c$ ), to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Stąd, w geometrii euklidesowej, każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe, o czym mówi postulat równoległości. Odwrotnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Na rys. 3, wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty przystają do siebie, podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste $a$ oraz $b$ są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga za sobą pozostałe:

Jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym.
Jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono.
Prosta $c$ jest prostopadła do prostej $a$ .
Prosta $c$ jest prostopadła do prostej $b$ .