Pi
Z Wikipedii
Spis treści |
Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina[1] - stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnia wartość x, dla której sin(x) = 0.
Liczba π z dokładnością 100 miejsc po przecinku:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...
Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).
[edytuj] Niewymierność i przestępność liczby π
Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.
To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła.
[edytuj] Dowód niewymierności π
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.
Zakładamy, że gdzie .
Ustalamy ciąg
Można wykazać, że:
Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.
[edytuj] Często występujące przekształcenia π
[edytuj] Najpopularniejsze aproksymacje wartości π
Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo 355/113 (ten ostatni ułamek jest równy π z dokładnością 6 miejsc po przecinku).
[edytuj] Historia obliczeń wartości π
Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.
Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.
Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością .
Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.
W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:
-
- Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.
Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie .
Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π: .
Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.
Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - , oraz późniejsze, wynoszące , które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.
Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około roku 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - , stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio . W rzeczywistości
W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie.
Ludolph van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o 262 bokach!) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.
Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615×1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.
[edytuj] Wzory do obliczania liczby π
- Powierzchnia koła jednostkowego:
- Obwód okręgu jednostkowego:
Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:
Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w Szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751).
Szybkozbieżnych formuł postaci : pojawiło się więcej, m.in:
- K. Takano (1982):
- F. C. W. Störmer (1896):
Inne metody:
- Ramanujan:
- David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:
- Bailey-Borwein-Plouffe Bailey web page (1997)
[edytuj] Kultura π
Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). Dla numerologów jest ona symbolem idealnej harmonii.
Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.
Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:
- Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
- Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)
Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'.
- Kuć i orać w dzień zawzięcie,
- Bo plonów niema bez trudu!
- Złocisty szczęścia okręcie,
- Kołyszesz...
- Kuć! My nie czekajmy cudu.
- Robota to potęga ludu!
Jaś o kole z wyrwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy już wiesz, skąd zmiana ta wynika ?
Inne przykłady:
- Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.
Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:
- Raz w maju, w drugą niedzielę
- Pi liczył cyfry pan Felek.
- Pomnożył, wysumował,
- Cyferki zanotował,
- Ale ma ich niewiele...
Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero):
- Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.
Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:
- How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
- Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach zawierających mechanikę kwantową!
Popularny jest także następujący wierszyk:
- How I wish I could recollect Pi easily today!
- Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!
Popularny jest również polski wierszyk:
- Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył
Istnieją również żarty na temat tej liczby:
- Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?
- Elementem poruszającym się po torze jest koło.
- A obręcz koła to nic innego jak okrąg.
- Należy przeanalizować wzór na długość okręgu:
- . 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem.
- I ten hak stuka!
Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela-"Życie Pi".
[edytuj] Znak π
Znak π jest oznaczeniem matematycznym wywodzącym się z litery alfabetu greckiego powszechnie używanym do oznaczenia liczby, której wartością jest stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy.
Jej pierwszego utożsamienia z wartością dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 roku, w dziele Analiza, chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwódu, którego grecka nazwa to περιμετρον.
W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze:
-
- Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [etc., to 128 places], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit π = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.
Prawdopodnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina.
[edytuj] Porzucone oznaczenia
- Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla Π. Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.
- W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π.
[edytuj] Niektóre wzory zawierające
[edytuj] Geometria
- Obwód okręgu o promieniu r:
- Pole elipsy o półosiach równych a i b:
- Objętość n wymiarowej kuli o promieniu r:
- Powierzchnia kuli o promieniu r:
- Miara łukowa kąta półpełnego równa jest π radianów
- Objętość walca : V = πr2H
[edytuj] Analiza matematyczna
- (Euler)
- (rozkład normalny)
- (wzór Stirlinga)
- (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki)
[edytuj] Teoria liczb
- Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi .
- Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi .
W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np: rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb {1, 2, 3,…, N} a następnie obliczamy granicę przy N dążącym do nieskończoności.
[edytuj] Fizyka
- (zasada nieoznaczoności Heisenberga)
- równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Przypisy
- ↑ nazwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku
[edytuj] Linki zewnętrzne
- E-tekst z projektu Gutenberg zawierający rozwinięcie liczby π długości 106 miejsc po przecinku: http://www.gutenberg.org/etext/50
- J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Projekt Mac Tutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
- Wiele wzorów na liczbę π: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
- Jak obliczyć wartość pi
- Hasło Pi w encyklopedii PlanetMath.
- Znajdź swoją ulubioną liczbę w liczbie Pi
- Znajdź swoje imię zakodowane w liczbie Pi
- Rozwinięcie dziesiętne pi do 1.000.000 miejsc po przecinku
Lista stałych matematycznych • Pi • Podstawa logarytmu naturalnego • Stała Eulera • Złoty podział • Srebrny podział • Stała Chinczyna • Stała Apéry'ego • Stała Feigenbauma • Stała de Bruijna-Newmana • Stała Meissela-Mertensa • Stałe Bruna • Stała Catalana • Stała Legendre'a • Stała Sierpińskiego