Trójkąty podobne

Z Wikipedii

Trójkąty podobne to każda para trójkątów, których kąty są odpowiednio równe, a boki odpowiednio proporcjonalne.

Zapis matematyczny warunku podobieństwa trójkątów:

Trójkąty podobne

jeśli ΔABC~ΔA'B'C' (co czytamy „trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A'B'C'”), to

$\alpha=\alpha' \qquad \beta=\beta' \qquad \gamma=\gamma'$

${a' \over a}={b' \over b}={c' \over c}=s$

gdzie s jest skalą podobieństwa.

Jeśli trójkąty są podobne, to jest pewne, że zachodzą wszystkie powyższe związki.

Spis treści

1 Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)
2 Zastosowania
- 2.1 Pomiar wysokości piramidy
- 2.2 Pomiar odległości statku od brzegu
3 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)

Cecha bbb (bok-bok-bok) - jeśli stosunki długości odpowiednich par boków są równe, to trójkąty są podobne.
Cecha bkb (bok-kąt-bok) - jeśli stosunki długości dwóch boków i miary kątów między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne
Cecha kk (kąt-kąt): - jeśli dwa kąty jednego trójkata są równe odpowiednim dwóm kątom drugiego trójkąta, to są to trójkąty podobne (bo ostatnia para kątów też musi być równa, aby suma ich miar była równa 180°).

Jeśli trójkąty są podobne, to:

wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali s.
stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

[edytuj] Zastosowania

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich

[edytuj] Pomiar wysokości piramidy

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja: $\frac{|OA|}{|AA'|}=\frac{|OB|}{|BB'|}$ skąd $|BB'|=\frac{|AA'|\cdot|OB|}{|OA|}$ .
Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

[edytuj] Pomiar odległości statku od brzegu

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się za horyzontem.

Z podobieństwa trójkątów OA'B' i OAB mamy: $\frac{|OA'|}{|A'B'|}=\frac{|OA|}{|AB|}$ czyli $\frac{|x+AA'|}{|A'B|}=\frac{x}{|AB|}$ skąd $x=\frac{|AA'|\cdot|AB|}{|A'B'|-|AB|}$