Środkowa trójkąta

Z Wikipedii

Środkowe w trójkącie oznaczone kolorem czerwonym.

Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie dzielącym każdą ze środkowych w stosunku 2:1, licząc od poszczególnych wierzchołków (co udowodniono niżej).

Punkt przecięcia się środkowych jest środkiem ciężkości trójkąta (barycentrum). Oznacza to, że jako punkt podparcia jest on punktem równowagi przy założeniu, że masa trójkąta jednorodna tzn. że jest rozłożona równomiernie (każde dwie części o jednakowym polu ważą tyle samo).

Korzystając z twierdzenia Carnota można dowieść, że w trójkącie o bokach $a, b, c$ , długość środkowej $d$ opadającej na bok $c$ wynosi:

$d = \tfrac{1}{2} \sqrt{ 2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Uwaga: Środkowej trójkąta nie należy mylić z linią środkową łączącą środki dwóch boków trójkąta.

[edytuj] Twierdzenie

Ilustracja pokazuje dwie spośród trzech środkowych (czerwone linie). Z definicji

ce = eb

ad = db

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołków.

Poprowadźmy w trójkącie $\triangle\mathrm{abc}$ dwie środkowe wychodzące z wierzchołków

a,c

przecinające przeciwległe boki odpowiednio w punktach

e,d

. Oznaczmy przez

p

punkt ich przecięcia. Pokażemy, że prosta przechodząca przez punkty

b,p

dzieli bok

ac

na połowy czyli, że jest trzecią środkową.

Na początku zauważmy, że

$\overrightarrow\mathrm{de} = \overrightarrow\mathrm{db}+\overrightarrow\mathrm{be} = \tfrac{1}{2} \overrightarrow\mathrm{ab} + \tfrac{1}{2} \overrightarrow\mathrm{bc} = \tfrac{1}{2} \overrightarrow\mathrm{ac}$

a stęd dostajemy $\mathrm{de} \parallel \mathrm{ac}$ przy czym

de

jest dwukrotnie krótszy od

ac

Trójkąty $\triangle\mathrm{apc}$ oraz $\triangle\mathrm{dpe}$ są podobne (wystarczy "dopasować" odpowiednie kąty wierzchołkowe i naprzemianległe).

Skoro

$|\mathrm{de}| = \tfrac{1}{2}|\mathrm{ac}|$ ,

zatem

$|\mathrm{pd}| = \tfrac{1}{2}|\mathrm{cp}|$ i $|\mathrm{pe}| = \tfrac{1}{2}|\mathrm{ap}|$

oraz

$|\mathrm{pd}| = \tfrac{1}{3}|\mathrm{cd}|$ i $|\mathrm{pe}| = \tfrac{1}{3}|\mathrm{ae}|$ .

Odcinek

dc

jest środkową, więc

$\overrightarrow\mathrm{dc} = \overrightarrow\mathrm{da}+\overrightarrow\mathrm{ac} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow\mathrm{ba} + \overrightarrow\mathrm{ac}$ ,

Stąd

$\overrightarrow\mathrm{bp} = \overrightarrow\mathrm{bd}+\overrightarrow\mathrm{dp} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow\mathrm{ba} + \tfrac{1}{3} \overrightarrow\mathrm{dc} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow\mathrm{ba} + \tfrac{1}{3}(\tfrac{1}{2}\overrightarrow\mathrm{ba}+\overrightarrow\mathrm{ac}) = \tfrac{2}{3} (\overrightarrow\mathrm{ba} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow\mathrm{ac})$ .

Wynika stąd, że prosta

bp

pokrywa się z prostą wyznaczoną przez

b

i środek odcinka

ac

, czyli z trzecią środkową wychodzącą z wierzchołka

b

. Oczywiście długość

bp

stanowi $\tfrac{2}{3}$ długości całej środkowej.

[edytuj] Uwaga

Dowiedziona własność ma wybitnie afiniczny charakter. Można to rozumieć następująco: bycie środkową albo bycie środkiem ciężkości trójkąta jest niezmiennikiem przekształceń afinicznych. Twierdzenie to jest więc twierdzeniem geometrii afinicznej

Afiniczność wynika choćby z tego, że w jego dowodzie starannie unikano takich pojęć jak prostopadłość, kąt, przystawanie nierównoległych odcinków, pole (w konwencji wektorowej wystarczyło nie używać ani razu iloczynu skalarnego).

Z drugiej strony, minimum środków niezbędnych do dowodu to intensywnie choć niejawnie używane pojęcia równoległości prostych ( np. pojęcie wektora swobodnego) oraz twierdzenie Talesa (np. stosunek podziału odcinka, podobieństwo trójkątów). Kryje się za nimi wszystkimi postulat Euklidesa ,

Można powiedzieć więcej: na gruncie geometrii afinicznej postulat Euklidesa jest równoważny twierdzeniu o środkowych trójkąta. W konsekwencji we wszystkich teoriach zmetryzowanych, w których spełniony jest aksjomat Euklidesa (geometria euklidesowa) twierdzenie o środkowych także zachodzi, a w teoriach, w których pojawia się jego zaprzeczenie (geometria hiperboliczna i geometria eliptyczna) twierdzenie o środkowych nie zachodzi. Porównaj twierdzenia o przecinaniu się wysokości, symetralnych i dwusiecznych trójkąta zachodzące w każdej z trzech wspomnianych geometrii.