Twierdzenie Poissona
Z Wikipedii
Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
Niech Bn będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych B(n,pn). Wówczas jeżeli , to zachodzi
- ,
lub równoważnie
[edytuj] Dowód
Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że . Niech λn = npn, wtedy mamy z założenia, że . Mamy zatem
[edytuj] Uwaga
Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej Bn dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej λ (jeśli X˜Poiss(λ), to ).
[edytuj] Komentarz
Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Rożnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.
[edytuj] Źródła
- ↑ J.Jakubowski, R.Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wydanie II, str. 166