Wzór Panjera

Z Wikipedii

Wzór Panjera - w matematyce ubezpieczeniowej, formuła rekurencyjna wprowadzona w 1981 roku przez Harry'ego Panjera^[1] (a następnie uogólniona przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella) służąca do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego że łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa, których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

[edytuj] Formuła Panjera

[edytuj] Oznaczenia

$P r (A)$ - prawdopodobieństwo zdarzenia $A$
$f j : = P r (Y = j)$ dla $j=0,1,2,\ldots$
$p n : = P r (N = n)$ dla $n=0,1,2,\ldots$
$X_{n}:=Y_{1}+\ldots+Y_{n}$ dla nielosowej liczby składników $n$ .

[edytuj] Założenia

$(N=0)\Rightarrow(X=0)$ ,
$Y_{1},Y_{2},\ldots$ mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa
$Y_{1},Y_{2},\ldots$ są parami niezależne
$Y_{1},Y_{2},\ldots$ są niezależne od $N$ .
$X=Y_{1}+\ldots+Y_{N}$
$\exists_{m\geq0}\forall_{n\geq m+1}\quad p_{n}=p_{n-1}\left(a+\frac{b}{n}\right)$

[edytuj] Formuła rekurencyjna

$Pr(X=0)= \begin{cases} p_{0} &f_{0}=0 \\ \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}(f_{0})^{n} &f_{0}>0 \end{cases}$
$Pr(X=k)=\frac{1}{1-af_{0}} \Bigg( \sum_{j=1}^{k}\Big(a+b\frac{j}{k}\Big)f_{j}Pr(X=k-j) + \sum_{n=1}^{m}\bigg(p_{n}-\Big(a+\frac{b}{n}\Big)p_{n-1}\bigg)\cdot Pr(X_{n}=k) \Bigg)$

[edytuj] Klasa Panjera

Klasa rozkładów wartości pojedynczej szkody, spełniających założenia wzoru Panjera nazywana jest klasą Panjera. Zgodnie z założeniami pierwszych $m$ prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których $m = 0$ , to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów $a$ i $b$ ):

rozkład Poissona ( $a = 0$ , $b > 0$ )
rozkład dwumianowy ( $a < 0$ , $b = - a (l + 1)$ , $l=1,2,3,\ldots$ )
rozkład ujemny dwumianowy ( $a\in(0,1)$ , $b > - a$ )
rozkład zdegenerowany $p 0 = 1$ ( $b = - a$ )

Rozkład	$Pr(N=k)\,$	$a\,$	$b \,$	$p_0\,$	$W_N(x)\,$	$E(N)\,$	$Var(N)\,$
dwumianowy	$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \,$	$\frac{-p}{1-p}$	$\frac{p(n+1)}{1-p}$	$(1-p)^n\,$	$(px+(1-p))^{n} \,$	$np\,$	$np(1-p) \,$
Poissona	$e^{-\lambda}\frac{ \lambda^k}{k!}\,$	$0\,$	$\lambda \,$	$e^{- \lambda}\,$	$e^{\lambda(s-1)} \,$	$\lambda\,$	$\lambda \,$
ujemny dwumianowy	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \,$	$1-p\,$	$(1-p)(r-1)\,$	$p^r \,$	$\left( \frac{p}{1 - x(1-p)}\right) ^r \,$	$\frac{r(1-p)}{p} \,$	$\frac{r(1-p)}{p^2} \,$

Można wykazać^[2], że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:

$b < - a$
$a\geq 1$ , $b > - a$
$a < 0$ , $b > - 1$

[edytuj] Zastosowania

Formuła Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie tej formuły w sytuacji ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest wtedy dyskretyzacja takiego rozkładu.

Przypisy

↑ Panjer, Harry. Recursive evaluation of a family of compound distributions.. ASTIN Bulletin, 12/1, 22–26. International Actuarial Association, 1981. (en)
↑ Sundt, B. i Jewell, W.S.. Further results on recursive evaluation of compound distributions. ASTIN Bulletin, 27–39. International Actuarial Association, 1981. (en)

[edytuj] Bibliografia

Bowers N.L.J., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbit C.J.: Actuarial Mathematics. Itasca: The Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7.
Otto W.: Matematyka w ubezpieczeniach. Ubezpieczenia majątkowe. Część I Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004. ISBN 83-204-2887-4.

Kategoria: Rachunek prawdopodobieństwa

We provide Linux to the World

Wzór Panjera

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Formuła Panjera

[edytuj] Oznaczenia

[edytuj] Założenia

[edytuj] Formuła rekurencyjna

[edytuj] Klasa Panjera

[edytuj] Zastosowania

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach