Zbiór Cantora

Z Wikipedii

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883^[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henryego Smitha^[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).

Spis treści 1 Definicje 1.1 Podstawowa konstrukcja 1.2 Alternatywna definicja 1.3 Modyfikacje konstrukcji 2 Podstawowe właściwości 3 Zbiór Cantora w szerszym sensie 4 Zobacz też 5 Przypisy

[edytuj] Definicje

[edytuj] Podstawowa konstrukcja

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego C₀: = [0,1] liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych takich, że

  zbiór C_n jest sumą 2ⁿ rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór C₀ to odcinek [0,1]

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór C_n tak, że jest on jest sumą 2ⁿ rozłącznych odcinków domkniętych (tzn spełnia ). Każdy z 2ⁿ odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru C_n wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc (gdzie to "środkowe" odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór C_{n + 1} jest sumą 2^{n + 1} rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek jest spełniony).

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

.

[edytuj] Alternatywna definicja

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywitych mających postać:

gdzie . Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału [0,1], dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

[edytuj] Modyfikacje konstrukcji

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory C_n, tak że każdy z nich jest sumą 2ⁿ rozłącznych odcinków domkniętych długości . Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory C_{n + 1} wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na C_n ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych tak, że każdy zbiór D_n jest sumą 2ⁿ rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

D₀ = [0,1].

Następnie, przpuśćmy że zbiór D_n jest już wyznaczony i jest on sumą 2ⁿ rozłącznych odcinków domkniętych, . W centrum każdego z odcinków I_k wybieramy otwarty pododcinek J_k długości | J_k | = 2 ^{− 2(n + 1)}. Kładziemy .

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

.

[edytuj] Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora C:

• jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn nie ma punktów izolowanych),
• jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka [0,1],
• jest nieprzeliczalny,
• jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a),
• jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych i takich, że . W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych {0,1}.

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue'a zero - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary. Na przykład, opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora D ma miarę 1/2 (ale jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue'a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest mocy .

[edytuj] Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryczna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryczna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• funkcja Cantora
• dywan Sierpińskiego.
• kostka Mengera
• kostka Cantora

Przypisy