Zbieżność monotoniczna

Z Wikipedii

Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.

Spis treści

1 Ciągi liczbowe
2 Ciągi funkcyjne
- 2.1 Definicja
- 2.2 Przykładowe użycie
3 Zobacz też

[edytuj] Ciągi liczbowe

Mówimy, że ciąg liczb rzeczywistych $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ jest monotonicznie zbieżny do liczby a jeśli $(a_n)_{n\in{\mathbb N}}$ jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby a.

Warto przypomnieć, że ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.

[edytuj] Ciągi funkcyjne

[edytuj] Definicja

Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz $f_n,f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ . Powiemy , że ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji f jeśli

(a) $(\forall n\in {\mathbb N})(\forall x\in X)(f_n(x)\leq f_{n+1}(x))$ lub $(\forall n\in {\mathbb N})(\forall x\in X)(f_n(x)\geq f_{n+1}(x))$ oraz

(b) $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji f (tzn dla każdego $x\in X$ mamy, że $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$ ).

Należy podkreślić, że założenie (a) powyżej wymaga więcej niż stwierdzenie, że ciąg $(f_n(x))_{n\in {\mathbb N}}$ jest monotoniczny dla każdego $x\in X$ . W naszej definicji wymagamy, że albo ciąg $(f_n(x))_{n\in {\mathbb N}}$ jest zawsze niemalejący albo też ten ciąg jest zawsze nierosnący.

[edytuj] Przykładowe użycie

Jeśli $f_n,f:[0,1]\longrightarrow {\mathbb R}$ są ciągłe, ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji f, to $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ zbiega jednostajnie do f. (Twierdzenie Diniego.)
Twierdzenie Lebesgue'a: jeśli $f_n:[0,1]\longrightarrow [0,\infty)$ są całkowalne w sensie Lebesgue'a i ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji f, to f jest mierzalna oraz $\int\limits_{[0,1]} f=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int\limits_{[0,1]} f_n$ .