Zbieżność jednostajna

Z Wikipedii

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej opisywana w następujący sposób:

Przypuśćmy, że $X$ jest niepustym zbiorem, a $(Y, \varrho_Y)$ jest przestrzenią metryczną. Niech $f_{n}\colon X\longrightarrow Y$ (dla $n \in \mathbb{N}$ ). Powiemy, że ciąg funkcji $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X\longrightarrow Y$ jeżeli

$\big(\forall \epsilon > 0\big)\big(\exists n_0\in \mathbb{N}\big)\big(\forall n \geq n_0\big)\big(\forall x \in X\big)\big(\varrho_Y\left( f_n(x), f(x)\right)<\epsilon\big).$

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\,\sup\left\{\varrho_Y(f_n(x),f(x)): x\in X\,\right\}=0.$

Jeśli ciąg funkcji $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ to mówimy też, że $f$ jest granicą jednostajną ciągu $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}$ .

Jeżeli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to mówimy że ciąg funkcji $\left(f_n\right)_{n\in {\mathbb N}}, f_n\colon X\to Y$ jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X\longrightarrow Y$ jeżeli dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X$ , ciąg $\left(f_n|_K\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest jednostajnie zbieżny.

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Przykłady
3 Podstawowe własności
4 Pojęcia pokrewne
5 Przestrzeń funkcji ciągłych z metryką zbieżności jednostajnej
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

W 1821, Augustin Louis Cauchy opublikował błędny dowód stwierdzenia, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Joseph Fourier i Niels Henrik Abel podali kontrprzykład dla tego stwierdzenia używając szeregów Fouriera.
Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy'ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej: zbieżność jednostajną.
W 1906, Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej^[1] (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).

[edytuj] Przykłady

Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np funkcję Dirichleta $I_{\mathbb Q}$ i połóżmy $f_n(x)=2^{-n}\cdot I_{\mathbb Q}(x)$ dla $x\in {\mathbb R}$ . Wówczas ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji stałej $f (x) = 0$ .
Na mocy twierdzenia Weierstrassa, każda funkcja ciągła $f:[0,1]\longrightarrow {\mathbb R}$ jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
Rozważmy funkcje $f_n:[0,1]\longrightarrow [0,1]$ dane przez formułę $f n (x) = x n$ dla $x\in [0,1]$ (gdzie $n\in {\mathbb N}$ ). Niech $f:[0,1]\longrightarrow [0,1]$ będzie dana przez

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 &\ \ \ 0 \leq x < 1\\ 1 &\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} \right .$

Wówczas ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji f, ale nie jednostajnie.

[edytuj] Podstawowe własności

Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność punktową.
Jeśli $f_n,g_n:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ oraz ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji f a ciąg $(g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji g, oraz $\alpha,\beta\in {\mathbb R}$ to

(a) ciąg $(\alpha\cdot f_n+\beta\cdot g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $\alpha\cdot f+\beta\cdot g$ ,

(b) jeśli dodatkowo funkcje f i g są ograniczone, to ciąg $(f_n\cdot g_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f\cdot g$ ,

M > 0

mamy $(\forall x\in {\mathbb R})(|g(x)|>M)$ , to ciąg $\left(\frac{f_n}{g_n}\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $\frac{f}{g}$ .

Jeśli $f_n,f:[0,1]\longrightarrow {\mathbb R}$ są ciągłe, ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji f oraz $(\forall n\in {\mathbb N})(\forall x\in [0,1])(f_n(x)\leq f_{n+1}(x))$ , to $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ zbiega jednostajnie do f.
Jeśli X, Y są przestrzeniami metrycznymi, $f_n:X\longrightarrow Y$ są funkcjami ciągłymi, oraz $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f:X\longrightarrow Y$ , to f jest funkcją ciągłą.
Jeśli $f_n:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ są różniczkowalne, ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji f oraz ciąg funkcji pochodnych $(f'_n)_{n\in {\mathbb N}}$ zbiega jednostajnie do funkcji g, to funkcja f jest różniczkowalna i $f' = g$ .

[edytuj] Pojęcia pokrewne

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921^[2] następujące pojęcia.

Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, $f_n,f:X\longrightarrow Y$ będą dowolnymi funkcjami (dla $n\in {\mathbb N}$ ).

Powiemy że ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ zbiega ciągle do funkcji f jeśli

dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in {\mathbb N}}$ elementów przestrzeni X, jeśli $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x$ to $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)=f(x)$ .

Mówimy że ciąg $(f_n)_{n\in {\mathbb N}}$ zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji f jeśli

dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in {\mathbb N}}$ elementów przestrzeni X, jeśli ciąg $\left(f(x_n)\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny (w przestrzeni Y) to także ciąg $\left(f_n(x_n)\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny oraz $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)$ .

Zbieżność jednostajna implikuje ciągłą zbieżność w silnym sensie.
Jeśli Y jest przestrzenią zwartą, to zbieżność ciągła w silnym sensie implikuje zbieżność jednostajną (czyli wtedy oba pojęcia się pokrywają).
Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to ciągła zbieżność implikuje zbieżność jednostajną. Stąd, przy założeniu zwartości X, dla funkcji ciągłych oba pojęcia pokrywają się.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego^[3].

[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych z metryką zbieżności jednostajnej

Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi a ${\mathcal C}(X,Y)$ będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni X w przestrzeń Y. Dla $f,g\in {\mathcal C}(X,Y)$ określamy

$d(f,g)=\sup\left\{\min(1,\varrho_Y(g(x),f(x))): x\in X\,\right\}$

Wówczas d jest metryką na zbiorze ${\mathcal C}(X,Y)$ - nazywamy ją metryką zbieżności jednostajnej.

Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na ${\mathcal C}(X,Y)$ zgadza się z tzw topologią naturalną (zwaną też topologią zwarto-otwartą) która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów

$U(C,V)=\{f\in {\mathcal C}(X,Y):f[C]\subseteq V\}$ gdzie $C\subseteq X$ jest zbiorem zwartym a $V\subseteq Y$ jest zbiorem otwartym.

Jeśli X jest przestrzenią zwartą a Y jest przestrzenią zupełną, to również ${\mathcal C}(X,Y)$ jest przestrzenią zupełną.
${\mathcal C}([0,1],{\mathbb R})$ jest przestrzenią polską.

[edytuj] Bibliografia

↑ Maurice Fréchet; Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
↑ Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Ciągi funkcyjne

We provide Linux to the World

Zbieżność jednostajna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Podstawowe własności

[edytuj] Pojęcia pokrewne

[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych z metryką zbieżności jednostajnej

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach