Banda de Möbius

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Una cinta de Möbius construida con un trozo de papel y cinta adhesiva.

La banda de Möbius o cinta de Möbius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una superficie con un solo lado y un solo componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

[editar] Propiedades

La banda de Möbius tiene una serie de propiedades curiosas.

Para construirla se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro $S^1\times I$ ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar. La banda resultante tiene sólo un borde, lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, por ejemplo, y notando que se alcanza el punto opuesto sin haber atravesado la superficie; así mismo, si se trata de pintar un lado de un color y el opuesto de otro, se llegará al momento en que los dos colores choquen. Si se parte con una díada (pareja) de ejes perpendiculares, y se desplaza paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

[editar] Geometría y topología

Plot paramétrico de una banda de Möbius

Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con A de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de $\mathbb{R}^3$ es mediante la parametrización:

$x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)$

$y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)$

$z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}$

donde $0\leq u < 2\pi$ y $-1\leq v\leq 1$ . Esto produce una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en $(0,0,0)$ . El parámetro $u$ recorre la banda mientras $v$ se desplaza de un borde a otro.

En coordenadas cilíndricas $(r,θ, z)$ , se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

$\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado $[0,1] \times [0,1]$ que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación $(x,0)\,$ $\sim\,$ $(1-x,1)\,$ para $0 \le x \le 1$ , como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total $Mo\,$ de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo $S 1$ y fibra un intervalo, i.e.

$I\subset Mo\to S^1$

El contraste con el fibrado trivial $I\subset S^1\times I\to S^1$ es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E

$I\subset E\to S^1$

Es decir, $S^1\times I$ y $Mo\,$ son todos los I-fibrados sobre el círculo.

[editar] Objetos relacionados

Un análogo de la banda de Möbius es la botella de Klein, que es un objeto cerrado que tiene solo una superficie, no se puede diferenciar el "afuera" del "adentro". (ver botella de Klein)

Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en $\mathbb{R}^3$ , la botella no.