Coordenadas cilíndricas

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Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto $P$ en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, $z$ ), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto $P$ al eje $z$ , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano $X Y$
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje $X$ la proyección del radiovector sobre el plano $X Y$ .
$z$ : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano $X Y$ .

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

$0\leq \rho <\infty\qquad 0\leq \varphi< 2\pi\qquad -\infty< z < \infty$

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Tabla de contenidos

1 Relación con otros sistemas de coordenadas
- 1.1 Relación con las coordenadas cartesianas
- 1.2 Relación con las coordenadas esféricas
2 Líneas y superficies coordenadas
3 Base coordenada
4 Diferenciales de línea, superficie y volumen
5 Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

[editar] Relación con otros sistemas de coordenadas

[editar] Relación con las coordenadas cartesianas

Las coordenadas cilíndricas pueden ponerse en función de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones

$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\qquad \varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\qquad z = z$

y sus inversas

$x = \rho \cos\varphi \qquad y = \rho\,{\rm sen}\varphi\qquad z = z$

Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje $z$ , en el cual φ no está definida.

[editar] Relación con las coordenadas esféricas

las coordenadas cilíndricas funcionan como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas. Éste último se relaciona con el de las cilíndricas por las ecuaciones

$\rho = r\,{\rm sen}\,\theta \qquad \varphi = \varphi z = r \,\cos\theta$

y sus inversas

$r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta=\arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi=\varphi$

[editar] Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:

Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje $Z$ .
Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
Líneas coordenadas $z$ : Rectas verticales

Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
Superficies $z$ =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

[editar] Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

$\hat{\rho} = \cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\,\varphi\,\hat{y}$

$\hat{\varphi} = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}$

$\hat{z} = \hat{z}$

e inversamente

$\hat{x} = \cos\varphi\,\hat{\rho} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}$

$\hat{y} = {\rm sen}\varphi\,\hat{\rho} + \cos\,\varphi\,\hat{\varphi}$

$\hat{z} = \hat{z}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

$h_\rho = 1 \qquad h_\varphi = \rho \qquad h_z = 1$

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

$\vec r = \rho\,\hat{\rho} + z\,\hat{z}$

Nótese que no aparece un término $\varphi\,\hat{\varphi}$ . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

[editar] Diferenciales de línea, superficie y volumen

[editar] Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

$d\vec r = h_\rho\,d\rho\,\hat{\rho}+h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}+h_z\,dz\,\hat{z} =d\rho\,\hat{\rho}+\rho\,d\varphi\,\hat{\varphi}+dz\,\hat{z}$

[editar] Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q 3 = cte.$ el resultado es

$d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte: $d\vec S_{\rho={\rm cte}} = \rho\,d\varphi\,dz\,\hat{\rho}$
φ=cte: $d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = d\rho\,dz\,\hat{\varphi}$
z=cte: $d\vec S_{z={\rm cte}} = \rho\,d\rho\,d\varphi\,\hat{z}$

[editar] Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

$dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3$

que para coordenadas cilíndricas da

$dV = \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$

[editar] Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

Gradiente

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}$

Divergencia

$\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi} + \frac{\partial(F_z)}{\partial z}$

Rotacional

$\nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left| \begin{matrix} \hat{\rho} & \rho\,\hat{\varphi} & \hat{z} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ F_\rho & \rho\,F_\varphi & F_z \end{matrix}\right|$

Laplaciano

$\nabla^2\phi = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$