Jacobiano

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En cálculo vectorial, el jacobiano es una abreviación de la matríz jacobiana y su determinante, el determinante Jacobiano. Son llamados así en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

[editar] Matríz Jacobiana

La matríz Jacobiana es una matríz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matríz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Supongamos F : Rⁿ → R^m es una función que va del espacio euclidiano de n-dimensional a otro espacio euclideano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: y₁(x₁,...,x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n). Las derivadas parciales de estás (si existen) pueden ser organizadas en una matríz m por n, la matríz Jacobiana de F.

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Esta matríz es notada:

$J_F(x_1,\ldots,x_n)$ ó como $\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$

La i-ésima fila está dada por el gradiente de la función y_i for i=1,...,m.

Si p es un punto de Rⁿ y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por J_F(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por J_F(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

$F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})$

para x cerca de p.

[editar] Ejemplo

El Jacobiano de la función F : R³ → R⁴ definida como:

$F(x_1,x_2,x_3) = (x_1,5x_3,4x_2^2 - 2x_3,x_3 \sin(x_1))$

es:

$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}$

[editar] Determinante Jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro, y la matríz Jacobiana es cuadrada, podemos calcular su determinante, conocido como el determinante Jacobiano.

El determinante Jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es inversible cerca de p si el determinante Jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinate en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

[editar] Ejemplo

El determinante Jacobiano de la función F : R³ → R³ definida como:

$F(x_1,x_2,x_3)=(5x_2 , 4x_1^2 - 2 sin (x_2x_3) ,x_2 x_3 )$

es:

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2$

La función es localmente inversible excepto donde x₁=0 o x₂=0. Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto de aproximadamente 40 veces más volumen que el original.