Corona (matemática)

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Una Corona geométrica

En matemática, una corona es la porción de un plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Además de su definición geométrica, una corona puede también tener una interpretación equivalentemente topológica a la de un cilindro abierto $S^1 \times (0,1)$ .

Para determinar la superficie de una corona tenemos que encontrar la diferencia entre las áreas de los dos círculos concéntricos: uno con radio R y el otro con radio r.

$A = \pi R^2 - \pi r^2\,$
$A = \pi(R^2 - r^2)\,$

Si dividiésemos esta corona entre un número infinitésimo de pequeñas coronas equidistantes del centro con latitud: $d ρ$ , y área: $2πρ d ρ$ ( = circunferencia × latitud) podríamos encontrar la superficie total por medio del cálculo integral. Si determinamos la integral de esta función entre $ρ = r$ y $ρ = R$ , tendremos:

$A = \int_r^R 2\pi\rho\, d\rho = \pi(R^2-r^2).$

Geométricamente, debemos observar un caso muy interesante: si encontramos el segmento de mayor longitud que pueda caber dentro de la corona, elevamos la mitad de su distancia al cuadrado y multiplicamos el resultado por $π$ , el producto es igual al área de la corona.

[editar] Estructura compleja

Una corona abierta, C, es la que reside en el dominio de un plano complejo de la forma

$C = C_w(r,R) = z \in \mathbb{C} \mid r < |z-w|\mid< R$

donde $w$ es un número complejo arbitrario; $r$ y $R$ son números reales tal que $0 < r < R .$

Este conjunto se denomina región coronaria. Se puede entonces generalizar: Sea $r = 0$ o $R = \infty$ con límites en la región $| z - w |$ , lo cual resulta en un disco unidad en un dominio sin límites. De la misma forma podemos definir una corona cerrada como el conjunto de la forma

${C}\prime = {C}\prime _w(r,R) = z \in \mathbb{C} \mid r \leq |z-w|\mid \leq R$

donde $w \in \mathbb{C}$ , $r$ y $R$ son números reales entre $0 < r < R$ .

Se puede demostrar que las dos coronas $D w (r, R)$ y $D w' (r', R')$ son equivalentes si --y solamente si-- $R / r = R' / r'$ . El complemento de cualquier disco cerrado es un disco abierto: precisamente la corona equivalente de la forma $D 0 (r,1)$ .

En el estudio del análisis complejo, una corona (a; r, R) en un plano complejo es la región abierta concretada por

$r < |z-a| < R.\,$

Cuando “r” es igual a 0, la corona es un disco unidad con radio “R” alrededor de un punto “a”. Una Superficie de Riemann es una corona siempre y cuando ésta sea un subconjunto de un plano complejo y cuya estructura dependa exclusivamente de la proporción aritmética, r/R. Cada corona (a; r, R) puede ser una función holomorfa conforme al Teorema del mapeo de Riemann , evidentemente desde el origen con un radio exterior (r = 1).

$z \mapsto \frac{z-a}{R}$ y un radio interior de r/R < 1.