Toro (matemáticas)

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Imagen de un toro generada en 3D.

Tabla de contenidos

1 Geometría
2 Topología
3 El Toro a la n
4 Aplicaciones
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos

[editar] Geometría

Representación en sistema diédrico del toro

En geometría, un toro es la superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira alrededor de una recta fija de su plano, que no la corta ^[1]. La palabra "toro" proviene del vocablo en latín torus, el cual en castellano significa "bulto", ya sea "volumen o tamaño de una cosa" o "elevación de una superficie causada por una protuberancia".

El toro genera un hueco en su interior, apropiando la forma semejante a un neumático recargado, o a una dona o rosquilla. Las coordenadas cartesianas del toro son:

$x = \cos(s) \cdot(R + r \cdot \cos(t))$

$y = \sin(s) \cdot (R + r \cdot \cos(t))$

$z = r \cdot \sin(t)$

donde R y r son constantes, y $s,t \in [0,2\pi)$

Para generar un toro, comenzamos con $X = [0,1] \times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2$ . Sea $X *$ un conjunto de elementos:

$\{ x \times 0, x \times 1 \mid 0 < x < 1 \}$

$\{ 0 \times y, 1 \times y \mid 0 < y < 1 \}$

con la colección de cuatro puntos $\{ 0 \times 0, 1 \times 0, 0 \times 1, 1 \times 1 \}$

Las ecuaciones paramétricas del toro son:

x(u, v) = (R + r cos v) cos u

y(u, v) = (R + r cos v) sin u

z(u, v) = r sin v

donde u, v ∈ [0, 2π], R es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, cuando r es el radio del conducto.

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$

La superficie del área y el volumen del interior del toro son:

$A = 4\pi^2 Rr \,$

$V = 2\pi^2R r^2. \,$

[editar] Topología

Un toro es el resultado de dos circunferencias.

Topológicamente, un toro es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias:

$S^1\times S^1$

con la topología producto.

La superficie descrita, dada la topología relativa de R³, es homeomorfa con el toro topológico mientras éste no intercepte con su propio eje.

El toro puede también describirse como el cociente del ’’Plano euclidiano’’ bajo las tipificaciones

(x, y) ~ (x+1,y) ~ (x, y+1)

Equivalentemente, como el cociente del cuadrado o unidad conectando los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental $A B A - 1 B - 1$ .

Esta superficie se considera como el espacio total de un fibrado (trivial), donde el espacio base es el círculo $S 1$ .

El grupo fundamental del toro es precisamente el producto directo del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma:

$\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

Intuitivamente, esto significa que un camino cerrado el cual rodea entrambos, el "orificio" y el "cuerpo" del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que envuelva el cuerpo y el orificio. Es decir, los caminos estrictamente latitudinales y estrictamente longitudinales participan en operaciones conmutativas.

El primer grupo homológico del toro es isomorfo al grupo fundamental; puesto que el grupo fundamental es abeliano).

[editar] El Toro a la n

Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un toro a la n se define como el producto de n circunferencias:

$\mathbb{T}^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1$

El toro manifestado anteriormente es el “toro a la 2”.
El “toro a la 1” es precisamente la circunferencia.
El “toro a la 3” es considerablemente complejo para visualizarse fácilmente.
Al igual que el “toro a la 2”, el toro a la n potencia puede describirse como el cociente de Rⁿ con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.

Consiguientemente, el toro a la n es Rⁿ módulo la acción del grupo enrejado Zⁿ (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el toro a la n se obtiene a partir del n-cubo pegando las caras opuestas.

Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un toro máximo; es decir, un subgrupo cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.

El grupo fundamental de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango n. El k-ésimo grupo homológico de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango n sobre k. De esto se deduce que la característica de Euler del toro a la n es 0 para cualquier n. El anillo homológico H^•(Tⁿ,Z) puede identificarse con el álgebra exterior sobre Z-módulo Zⁿ cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia n.

[editar] Aplicaciones

Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura.
En el mundo de los videojuegos de estrategia es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el norte aparecen en el sur, como si le hubiesen dado la vuelta al mundo. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el oriente, aparecen en el occidente y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de mundo toroide por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudo impresión de un mundo esférico.
En magnetismo, se enrolla una bobina con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un campo magnético dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un imán; se coloca un material ferromagnético en el entrehierro y se imprime una corriente eléctrica por la bobina. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y éste queda magnetizado, formando un imán.
Cientos de objetos cotidianos tienen forma de toro: Un donut, una rosquilla, la cámara de un neumático...