Cálculo

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En castellano, cálculo, de forma general, es indistintamente la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular por su parte consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida.

Tabla de contenidos

1 Operaciones
2 Historia del cálculo
3 Concepto general de cálculo
4 El cálculo lógico
5 Sistematización de un cálculo
6 Cálculo proposicional o lógica de enunciados
7 Reglas del cálculo de enunciados
8 Cálculo como lógica de clases
9 Reglas del cálculo cuantificacional. Cálculo de predicados
10 Cálculo de relaciones
11 Referencias
12 Cálculos matemáticos
13 Enlaces externos

[editar] Operaciones

1. Pueden estar orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, conjeturar, estimar etc.

2. Ser operaciones lógicas o matemáticas en general (cálculo lógico, cálculo matemático) de las que se espera conocer un resultado desconocido partiendo de unos datos previamente establecidos:

a) Resultado meramente lógico o matemático, como deducción, inferencia, o conclusión, a partir de los datos previos y mediante unas reglas operativas estrictamente establecidas.

b) Resultado luego aplicable a la resolución de un problema real, obteniendo un resultado de cantidad en unos casos, o de relaciones de cantidad o variables, según un modelo de relaciones previamente establecido y significativo respecto a determinadas realidades.

Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana es el sentido principal al que nos referimos en este artículo.

[editar] Historia del cálculo

Es curioso el origen de la palabra. Cálculum, en latín, es la piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Y piedrecitas ensartadas en unas tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo se encuentran en los que utilizaron los geómetras, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar, por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas, así como Diofanto como precursor del álgebra.

Pero el cálculo no adquiere su importancia hasta que los árabes introducen en Europa el sistema decimal, introduciendo el 0 que ya consideraban en la India. Al Khwarizmi s. IX, es el primero que presenta un sistema decimal de forma elaborada. La palabra algoritmo se introdujo en matemáticas en honor a este matemático árabe.

El surgir del álgebra, introduciendo un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones, de la mano de los grandes matemáticos renacentistas, Tartaglia, Stévin, Cardano, Vieta, perfeccionados finalmente en el siglo XVII por Descartes, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, y el intento de matematizar la lógica, (Bolzano, Boole, Frege, Whitehead, Russell) se hizo posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto Hilbert, Poincaré llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, como cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctricos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible absolutamente: millones de operaciones/seg.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Un ejemplo de cálculo algebraico aplicado

La expresión del cálculo algebraico y = xt, indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.

Pero si interpreto “y” como espacio, “x” como velocidad y “t” como tiempo, tal ecuación modeliza una teoría científica que establece que la relación del espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.

Al mismo tiempo sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido.

240 kilómetros recorridos = 60 km x 4 h

[editar] Concepto general de cálculo

El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significación alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de expresiones bien formadas , así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.

Expresado más brevemente, un cálculo es un lenguaje meramente formal en el que los símbolos se expresan únicamente en sus relaciones sintácticas definidas previamente por reglas estrictas, así como las reglas que hacen posible la transformación de unas expresiones en otras equivalentes.

Estrictamente un cálculo es:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.

2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas” que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.

3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.

Un cálculo así definido que si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que dicho Cálculo es perfecto:

1. Es consistente. Es decir no es posible que dada una expresión bien formada del sistema, f, y su negación, no-f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.

2. Decidible. Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.

3. Completo. Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer si dicha expresión o su negación es un teorema del sistema.

Desgraciadamente la misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible". Teorema de Gödel

[editar] El cálculo lógico

Entendemos aquí por cálculo lógico, un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a patir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como -conclusión- a partir de otro(s) -premisas- mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de deducción natural.

Desgraciadamente la representación gráfica de los símbolos no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.

[editar] Sistematización de un cálculo

[editar] Reglas de formación de fórmulas

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.

II.- Si A es una fórmula, ¬ A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, A /\ B; A \/ B; A → B; A ↔ B también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.

Nota: A, B, ... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

[editar] Reglas de transformación de fórmulas

R.T.1: Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1	[(p /\ q) \/ r ]	--->	t \/ s
2	A \/ r	--->	B	donde A = p /\ q y B = t \/ s
3	C	--->	B	donde C = A \/ r

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitución

R.T.2: Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esta regla recibe el nombre de regla de separación

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

[A /\ B /\ C...... /\ N ] ----> Y

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A,B,N y su producto, podemos obtener la conclusión Y con valor de verdad F, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lógica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautología. Por la regla de separación podremos concluir Y, de forma independiente.

Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el cálculo como cadena decutiva supone una facilidad operativa.

[editar] Concepto de modelo

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones.

Pero ¿En qué consiste o cómo se hacen tales aplicaciones?

Para el cálculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.

[editar] Cálculo proposicional o lógica de enunciados

[editar] Reglas de simbolización

Regla I.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas, p,q,r,s,t,.....

Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que" "es falso", "es imposible" y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por el símbolo ¬

Llueve, p; No llueve: ¬ p

Regla III.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni" "pero", "que", "mas", y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo /\

Llueve: p; Hace frío: q; Llueve y hace frío: p /\ q;

Regla IV.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o...o", "bien...bien", "ya...ya", y sus equivalentes, se sustituyen por el símbolo \/

Llueve: p; Hace frío: q; O llueve o hace frío: p \/ q

Regla V.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego....", "por tanto", "por consiguiente", "con tal que...", "se infiere", "se deduce" y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo

Llueve: p; Hace frío: q; Si llueve entonces hace frío: p → q

Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "..equivale a..", "..es .igual a..." m "vale por...","...es lo mismo que...", y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo ↔

Llueve: p; Hace frío: q; Si y sólo si llueve entonces hace frío: p ↔ q

Uso de paréntesis:

1.- No se utiliza paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos.

2.- Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.

3.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador.

4.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que son idempotentes-o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

[editar] Cadena deductiva

Es una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusión, se sigue necesariamente de los anteriores. Cada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva constituye una línea de derivación.

- Las distintas líneas de derivación se colocarán una debajo de otra numeradas correlativamente a partir del uno.

- Las líneas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de un guión que precederá al número que tengan asignado.

- Si la línea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su derecha la regla aplicada y las premisas o las líneas a las que se ha aplicado la regla.

Nº línea	EBF	Regla	Líneas
-1	Premisa
-2	Premisa
&	EBF	Regla S	línea €, 2
$	EBF	Regla R	línea 1
n-2	EBF	Regla X	líneas 1,$
n-1	EBF	Regla T	líneas 2,(n-2)
n	EBF	Regla U	líneas &, (n-1)
Cierre	conclusión

[editar] ¿De qué manera puede obtenerse la conclusión?

a) La conclusión puede obtenerse "directamente" aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciales.

b) Cuando en el desarrollo de la derivación es necesario utilizar premisas adicionales (supuestos no contemplados en las premisas dadas), decimos que la derivación es "subordinada", esto es, la obtención de la conclusión se subordina a la utilización de tales supuestos.

c) En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los métodos ya reseñados, recurriremos a la derivación "indirecta" o de "reducción al absurdo".

[editar] Observaciones técnicas

- Las líneas de derivación que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una señal en escuadra mirando hacia abajo. El significado de la señal es: "supongamos por el momento..."

Línea n	┌ X		Significa que X es un supuesto provisional no contemplado en las premisas.
Línea n+1	│	-	Linea no utilizable fuera del supuesto.
Líneas	│	-	Linea no utilizable fuera del supuesto.
línea n+a	└ Y		Significa el cierre del supuesto y su cancelanción

- Los supuestos provisionales deberán ser cancelados antes de establecer la conclusión. Un supuesto provisional queda cancelado cuando, en una línea posterior de dicha derivación, se obtiene una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra fórmula que es independiente del referido supuesto. La cancelación de un supuesto se expresa cerrando la escuadra.

- La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradicción. La consecuencia lógica será la negación del supuesto, es decir, la afirmación de la conclusión deseada.

- Todo supuesto provisional o las fórmulas de él derivadas incluidas dentro de las escuadras no podrán utilizarse después de la cancelación del supuesto como elementos de nuevas inferencias.

Los símbolos utilizados pueden ofrecer grafos diversos según convenciones determinadas.

Como símblo elemental del cálculo, proposiciones atómicas, se utilizan las letras minúsculas p, q, r, ......

Como metalenguaje las expresiones bien formadas del lenguaje objeto pueden expresarse como letras máyúsculas A, B, C.....

A.- Reglas de formación de fórmulas:

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.

II.- Si A es una fórmula, ¬A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, A/\B, A\/B, A→B, A↔B también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.

Definiciones: Consultar tablas de verdad

**Definición de conectivas o functores**
A	B	Conjuntor	Disyuntor	Implicador	Coimplicador
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

**Definición del Negador**
A	¬A
V	F
F	V

B.- Reglas de transformación de fórmulas

1. Dada una expresión bien formada (EBF) del cálculo, en la que aparecen variables proposicionales, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas del cálculo, será también una expresión bien formada del cálculo. Con una restricción, cada variable ha de ser sustituida en todas sus ocurrencias y siempre por la misma expresión bien formada.

2. Si A es una EBF y A --> B también lo es, entonces B es también una EBF

Mediante estas reglas y la aplicación de los diversos valores según la tabla de verdad podemos establecer los valores de verdad de cualquier expresiòn bien formada del sistema.

Cuando un conjunto de EBFs siguen el siguiente esquema,

decimos que es un esquema de inferencia, que permite ser interpretado como forma de argumento; como cadenas deductivas donde el valor de verdad del primer miembro, como producto, exige la verdad de cada una de las proposiciones que la forman, y por tanto para que la proposición sea verdadera la proposición del segundo miembro, lo implicado o condicionado, también tendrá que serlo.

Algunas tautologías, como leyes lógicas que garantizan el valor de verdad de su expresión, pueden tomarse por su utilidad como Reglas de transformación de expresiones en dichas cadenas deductivas.

Leyes lógicas más comunes: Conjunción o producto, Disyunción o adición, Simplificación,Modus ponens, Modus tollens, Silogismo hipotético, Silogismo disyuntivo etc.

Dada la dificultad que ofrecen las tablas de verdad cuando las proposiciones tienen muchas variables, existen formas de cálculo en las que las diversas proposiciones pueden transformarse en aplicación de las leyes lógicas, convertidas en reglas. Dicha forma de cálculo, como modus operandi, simplifica notablemente alcanzar el resultado.

[editar] Reglas del cálculo de enunciados

Se distinguen las reglas primitivas y las derivadas. Las derivadas son producto de las primitivas, pero facilitan y reducen los pasos de la deducción. Asimismo las de reemplazo significan que una expresión puede ser sustituida directamente por su equivalente, a veces como definición.

[editar] Reglas primitivas

**Ejemplo de cálculo proposicional**
Si dos gases tienen la misma temperatura entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética. Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas. Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales. Por consiguiente si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión. Simbolización proposicional Para dos gases: t: Tener la misma temperatura. c: Tener las moléculas la misma energía cinética. v: Tener volúmenes iguales. m: Tener igual número de moléculas. p: Tener presiones iguales. Esquema de inferencia, o argumento t-->c /\ v-->m /\ (m/\c)-->p, \|- (t/\v)-->p Cálculo de Deducción - 1 t--> c - 2 v --> m - 3 (m /\ c) --> p ┌ 4 t /\ v Supuesto │ 5 t E.C.4 │ 6 v E.C.4 │ 7 c M.P.1,5 │ 8 m M.P.2,6 │ 9 m /\ c I.C.7,8 │ 10 c /\ m C.C.9 └ 11 p M.P.3-9 ___________ Cierre supuesto 12 (t /\ v) --> p I.I.4-10

Las reglas primitivas son las siguientes:

Introducción del negador, demostración indirecta o absurdo I.N.

┌línea (n)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	B /\ ¬ B	Regla I.C, linea s,r
	_________	Línea de cierre
Línea (n+a)+1	¬ A	Regla I.N. líneas (n - n+a+1)	Conclusión

Eliminación del negador o Ex contradictione quodlibet ECQ

línea n	A		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬A		Fórmula de la cadena
	_______	Línea de cierre
	C		Regla E.N.,líneas n,n+a	Conclusión

Resulta curiosa esta regla, pero es la que justifica argumentos tales como: "Si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma", que, son válidos aunque inútiles, pues se da por supuesta la falsedad de las premisas.

Por eso "ex contradictione quod libet", es decir, de una contradicción podemos concluir lo que queramos.

Introducción del conjuntor o producto: I.C.

línea n	A		Fórmula de la cadena
línea n+a	B		Fórmula de la cadena
	_______	Cierre
	A /\ B		Regla I.C., líneas n, n+a	Conclusión

Eliminación del conjuntor o simplificación: E.C.

línea n	A /\ B
	_________	Cierre
	A		Regla E.C. línea n	Conclusión

Introducción del disyuntor o adición: I.D.

línea n	A		Fórmula de la cadena
	_________	Cierre
	A \/ B		Regla I.D., línea n	Conclusión

Eliminación del disyuntor o casos: E.D.

línea n	A \/ B
┌línea (n+1)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+ b)	C	Regla X, linea s,r

┌línea (n+x)	B	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utillizables fuera del supuesto
└ línea (n+x)+a	C	Regla T, linea t,r
	_________	Cierre
	C	Casos,líneas [(n+1-n+b),(n+x-n+x+a)]

Introducción del implicador o teoría de la deducción I.I.

┌línea (n)	A	Supuesto provisional
│	-	Líneas derivadas provisionales
│	-	no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	B	Regla X, linea s,r
	_________	Cierre
Línea (n+b)+1	A → B	Regla I.I. líneas (n+1-n+b),conclusión

Eliminación del implicador o Modus ponens E.I.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	A		Fórmula de la cadena
	_________	Cierre
	B		Regla E.I., líneas n, n+a	Conclusión

[editar] Reglas derivadas

Algunas de las reglas derivadas más utilizadas:

Silogismo hipotético o Transitividad del condicional S.H.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	B → C		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	A → C		Regla S.H., líneas n, n+a	Conclusión

Silogismo disyuntivo o inferencia de la alternativa S.D.

línea n	A \/ B		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬ A		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	B		Regla S.H., líneas n, n+a	Conclusión

Modus tollens M.T.

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
línea n+a	¬ B		Fórmula de la cadena
	_________	Línea de cierre
	¬ A		Regla M.T., líneas n, n+a	Conclusión

[editar] Reglas de Reemplazo

En las que las líneas de cierre son dobles indicando que ambas fórmulas son equivalentes, es decir, pueden sustituirse directamente una por otra puesto que su conexión es un bicondicional

Leyes de Morgan

línea n	¬(A /\ B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬ A \/ ¬ B)		Regla Morgan 1., línea n.	Conclusión

línea n	¬(A \/ B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬ A /\ ¬ B)		Regla Morgan 2., línea n.	Conclusión

Conmutación de la conjunción

línea n	A /\ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	B /\ A		Conmutación conjunciòn CC., línea n.	Conclusión

Conmutación de la disyunción

línea n	A \/ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	B \/ A		Conmutación disyunción CD., línea n.	Conclusión

Asociativa de la conjunción AC.

línea n	[A /\ (B /\ C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A /\ B) /\ C]		Asociativa conjunción AC., línea n.	Conclusión

Asociativa de la disyunción AD.

línea n	[A \/ (B \/ C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A \/ B) \/ C]		Asociativa disyunción AD., línea n.	Conclusión

Distributiva de la conjunción

línea n	[A /\ (B \/ C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A /\ B) \/ (A /\ C)]		Distributiva de la conjunción DC., línea n.	Conclusión

Distributiva de la disyunción

línea n	[A \/ (B /\ C)]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A \/ B) /\ (A \/ C)]		Distributiva de la disyunción DD., líneas n.	Conclusión

Doble negación

línea n	¬¬A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	A		Doble negación DN., línea n.	Conclusión

Transposición

línea n	(A → B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(¬A → ¬B)		Transposición., línea n.	Conclusión

Definición del implicador

línea n	A → B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	¬A \/ B		Implicación, Imp., línea n.	Conclusión

Equivalencia 1

línea n	A ↔ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A → B) /\ (B → A)		Equivalencia 1., línea n.	Conclusión

Equivalencia 2

línea n	A ↔ B		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[(A /\ B) \/ (¬A /\ ¬B)		Equivalencia 2., línea n.	Conclusión

Exportación

línea n	[(A /\ B) → C]		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	[A → (B → C)]		Exportación. Exp., línea n,	Conclusión

Identidad

línea n	A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	A		Identidad, línea n,	Conclusión

Tautología

línea n	A		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre
	(A \/ A)		Exportación. Exp., línea n.	Conclusión

[editar] Cálculo como lógica de clases

La lógica de clases considera la proposición considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento o individuo a una determinada clase.

Por clase se entiende un conjunto de individuos que tienen una propiedad común. Nótese que la propiedad define a la clase, no al individuo, lo que lo diferencia esencialmente de la lógica de predicados.

El valor de verdad viene dado en este caso por la pertenencia o no pertenencia a una clase. Por ello la tabla de valores de verdad se explicita como tablas de pertenencia.

No es lo mismo decir:

Hs = Sócrates es un hombre, en donde atribuimos una cualidad que atañe al ser mismo de Sócrates.

Que decir:

S $\in$ H = Sócrates pertenece a la clase de los hombres.

La clase tiene sentido aun cuando no existan individuos lo cual no es posible en la lógica de predicados.

La clase A = “hombres nacidos en Marte”, es una clase vacía, pero es una clase, pues define una propiedad, aunque no exista un elemento o individuo que pertenezca a esa clase.

[editar] Elementos y su simbolización

a) Universo: es la clase de todas las clases, de todos los elementos del universo que estemos considerando. Se la llama clase universal. U

b) Clase vacía: clase que no tiene ningún elemento : Ø

c) Individuos: $x 2 x 3 .... x n$

d) Clase: conjunto de individuos que tienen una propiedad en común. Puede significarse de varias maneras:

A = (

x 2 x 3 .... x n

)

A = (Todos los nacidos en Asturias)

A = /\x ( x/ nacido en Asturias)

e) Pertenencia: $\in$ No pertenencia: $\notin$

f) Generalizador /\ Todo x.

g) Particularizador V Algún x

h) Conectivas : /\, V, -->, <-->

i) La negación se define como una operación entre las clases, la clase complementaria.

[editar] Operaciones entre las clases

a) CLASE COMPLEMENTARIA: clase complementaria de una clase A es la clase formada por todos los elementos que no pertenecen a esa clase A.

A = $\land x (x \in A)$ y B = $\land x (x \in B)$ Observemos que equivale a la negación.

**Definición Clase Complementaria**
$A$	$\bar {A}$
$\in$	$\notin$
$\notin$	$\in$

b) CLASE UNIÓN O UNIÓN DE CLASES: clase unión de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una o a otra clase.

A = $\land x (x \in A)$ y B = $\land x (x \in B)$

Observamos que equivale a la disyunción.

**Definición Clase Unión de Clases**
$A$	$B$	$A \cup B$
$\in$	$\in$	$\in$
$\in$	$\notin$	$\in$
$\notin$	$\in$	$\in$
$\notin$	$\notin$	$\notin$

b)INTERSECCIÓN DE CLASES O CLASE INTERSECCIÓN: clase intersección de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una y a otra clase.

A = $\land x (x \in A)$ y B = $\land x (x \in B)$

**Definición Clase Intersección de Clases**
$A$	$B$	$A \cap B$
$\in$	$\in$	$\in$
$\in$	$\notin$	$\notin$
$\notin$	$\in$	$\notin$
$\notin$	$\notin$	$\notin$

Observamos que equivale a la conjunción.

c)DIFERENCIA : clase diferencia es la clase formada por los elementos de A que no pertenecen a B.

**Definición Clase Diferencia de Clases**
$A$	$B$	$A - B$
$\in$	$\in$	$\notin$
$\in$	$\notin$	$\in$
$\notin$	$\in$	$\notin$
$\notin$	$\notin$	$\notin$

[editar] Relaciones entre las clases

A) IDENTIDAD O EQUIVALENCIA: puede suceder que todos los miembros de una clase lo sean también de otra, y viceversa. Por ejemplo:

$A = \land x (x \in A)$ $B = \land x (x \in B)$

A = B def. $\land x (x \in A \leftrightarrow x \in B)$

A = Todos los niños que tienen un año de edad. B = Todos los niños nacidos hace un año.

Pongamos atención que lo que define a una clase es la extensión de los individuos, pero formalmente la propiedad que la define puede ser diversa. Por ello tiene sentido decir A = B

B) INCLUSIÓN: cuando todos los miembros de una clase pertenece a otra

$A = \land x (x \in A)$ $B = \land x (x \in B)$

$A \subset B$ def. $\land x (x \in A \rightarrow x \in B)$

C) DISYUNCIÓN: cuando ningún elemento de B pertenece a A, ni ningún elemento de A pertenece a B.

$A = \land x (x \in A)$ $B = \land x (x \in B)$

A | B def. $\land x(x \in A \rightarrow x \notin B) \land (x \in B \rightarrow \notin A)$ A | B = $A \subset \bar{B}$

[editar] Proposiciones tipo

La clásica clasificación aristotélica:

Tipo A: todos los S son P. "Todos los hombres son mortales", se interpreta como

$\land x (x \in S \to x \in P)$ $\leftrightarrow$ $\quad S \subset P$

Tipo E: ningún S es P. "Ningún hombre es mortal", se interpreta como

$\lor x (x \in S \to x \notin P)$ $\leftrightarrow$ $S \subset \bar P$

Tipo I: algún S es P. "Algún hombre es mortal", se interpreta como

$\lor x (x \in S \land x \in P)$ $\leftrightarrow$ $S \cap P$

Tipo O: algún S es No-P. ´"Algún hombre no es mortal", se interpreta como

$\land x (x \in S \land x \notin P)$ $\leftrightarrow$ $\lnot (S \subset P)$

[editar] Leyes del cálculo de clases

Como leyes lógicas, es decir tautologías que se pueden comprobar mediante tablas de pertenencia, se estableces algunas leyes que resultan útiles para los cálculos de deducción de proposiciones:

Leyes asociativas: $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

Leyes conmutativas: $A \cup B = B \cup A$

$A \cap B = B \cap A$

Leyes distributivas: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Ley de involución: $A = \bar \bar A$

Leyes de Morgan: $\lnot (A \cup B) \leftrightarrow \bar \bar A \cap \bar \bar B$

$\lnot (A \cap B) \leftrightarrow \bar \bar A \cup \bar \bar B$

Leyes de absorción: $A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = A$

Ley de contraposición: $A \subset B = \bar B \subset \bar A$

Ley de la transitividad: $\big[(A \subset B) \wedge (B \subset C) \big] \to (A \subset C)$

[editar] Reglas del cálculo cuantificacional. Cálculo de predicados

Cuando el argumento no se fundamenta en las relaciones conectivas entre las proposiciones como un todo, sino en el análisis de las proposiciones, se hace necesario la ampliación del cálculo lógico como son, ahora, las reglas de cuantificación, para el cálculo cuantificacional.

La cuantificación permite explicitar el ámbito de aplicación de un predicado a un sujeto o conjunto de sujetos. Por lo que el cálculo según este modo de análisis de la proposición se conoce como “cálculo de predicados”.

[editar] Reglas de simbolización

La expresión Px denota cualquier proposición o función proposicional.

Siendo P un predicado que se aplica a una variable individual x.

P = ser cuadrado x = cualquier cosa Px = cualquier cosa cuadrada

Una función proposicional sin cuantificación alguna no puede tener valor de verdad V o falsedad F y no es, por tanto, una proposición.

La expresión Pa denota la ocurrencia de Px en a. Siendo a, b, c, d, e…. constantes individuales.

P = ser cuadrado a = esta mesa Pa = Esta mesa es cuadrada

En este caso Pa es una proposición singular, en que x = a, y Pa puede tener valor V o F.

Una proposición no puede tener ocurrencias libres, variables sin cuantificar, para poder tener valor V o F.

La sustitución de una variable x en una función proposicional Px ha de hacerse bajo la condición de que la variable w, como variable de individuos, debe estar libre en Pw en todos los lugares en que x ocurre libre en Px. (Si Px no contiene ocurrencias libres de x, entonces Px y Pw son idénticas; x y w son lo mismo).

Una ocurrencia libre es la ocurrencia de una variable u, v, x, z, etc. no sometida al alcance de un cuantificador universal o existencial.

Por ejemplo:

Sustituyendo la variable x = ser una rueda, por la variable y = ser una rueda de bicicleta, respecto al predicado P = ser redondo, cuando el universo, o contexto de que se trata es el de las bicicletas:

Px ↔ Py y por tanto x = y

[editar] Cuantificadores

/\ Generalizador Universal

Es el resultado del producto de a /\ b /\ c /\ d /\ e /\ f…….... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivale a “Todos los posibles x”

\/ Particularizador existencial

Es el resultado de la adición a \/ b \/ c \/ d \/ e \/ f..... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivale “Existen algunos, o al menos un individuo que verifica Px.

Instanciación

Sustituyendo en una función proposicional las variables de individuos x, y, z, ... por constantes a, b, c..... como individuos: Pedro, Juan, este libro, etc.

Ejemplos:

P = Ser cuadrado x = cualquier cosa a = esta mesa

/\x Px = Para todo x, para cualquier x, x es cuadrado

\/x Px = Para algún x, se da Px. Existe al menos un x tal que x es cuadrado

Px = Ser cuadrado Pa = Esta mesa es cuadrada

[editar] Clases de proposiciones

Singulares:

Ma Siendo M = ser mortal a = Antonio Ma ↔ Antonio es mortal

Generales:

Siendo:

P = Ser hombre M = Ser mortal x = variable individual, cualquier individuo

/\x (Px →Mx) Para todo x si Px entonces Mx ↔ Todos los hombres son mortales

\/x (Px /\ Mx) Existe algún x para el que Px /\ Mx ↔ Algún hombre es mortal

/\x (Px → Mx) Para todo x si Px entonces Mx ↔ Ningún hombre es mortal

\/x (Px /\ Mx) Existe algún x tal que Px ↔ Algún hombre no es mortal

Proposiciones múltiplemente generales:

Enunciados compuestos cuyos componentes son proposiciones generales con más de una variable de individuos y/o con proposiciónes singulares.

Sea el caso de la proposición:

/\x [Px → Lx)] → Ld Que podría equivaler a: Si todos los perros ladran, entonces Desko (mi perro) ladra.

Si fuera el caso /\x [Px → Lx)] → Ly

Px y Lx, son ocurrencias ligadas, sometidas al alcance de un cuantificador.

Ly en cambio es una ocurrencia libre, y por eso puede sustituirse por otra variable o por una constante, como Ld.

[editar] Reglas del cálculo cuantificacional

**Ejemplo de cálculo de predicados**
Todos los médicos curan. Por tanto, si los médicos saben medicina, entonces Juan, que es médico, sabe medicina. Simbolización proposicional M = Ser médico C = curar S = Saber medicina k = Juan Esquema de inferencia, o argumento /\x (Mx-->Cx) \|- /\x (Cx-->Sx) -->(Mk-->Sk) Cálculo de Deducción - 1 /\x (Mx-->Cx) ┌ 2 /\x (Cx-->Sx) Supuesto provisional │┌ 3 Mk Supuesto provisional ││ 4 Mk--> Ck I.U.1 ││ 5 Ck M.P.4,3 ││ 6 Ck-->Sk I.U.2 ││ 7 Sk M.P.6,5 │└ 8 Mk-->Sk I.I.3,7 Cierre supuesto └--------------------------------- 9 /\x (Cx-->Sx) -->(Mk-->Sk) I.I.2-8

Además de todas las reglas referidas a las proposiciones como un todo, se tienen las siguientes:

Instanciación Universal. I.U.

Línea n	/\xPx
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	Py	U.I. línea n. Conclusión

Generalización existencial. E.G.

Línea n	Py
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	\/xPx		E.G. línea n. Conclusión

Instanciación existencial. I.E.

línea n	\/xPx
┌línea (n+1)	Py	Supuesto provisional
│		Líneas derivadas provisionales
│		no utilizables fuera del supuesto
└ línea (n+a)	p	Regla &&, linea s,r
	______	Línea de cierre
Línea (n+a)+1	p	Regla E.I. líneas (n - n+a+1)	Conclusión

Con la condición de que y sea una variable que no ocurre libre ni en p ni en ningún renglón que preceda a Py.

Generalización universal. G.U.

Línea n	Py
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯	línea de cierre
Línea n+a	/\xPx		G.U. línea n. Conclusión

Con la condición de que y sea una variable que no ocurre libre ni en /\xPx ni en ningúna hipótesis dentro de cuyo alcance se encuentra Py

Negación de un cuantificador N.C.

/\xPx	¬xPx	x¬Px	¬x¬Px
======	======	======	======	Doble línea de cierre
¬\/x ¬Px	\/x¬Px	¬\/xPx	\/xPx

Principio de identidad Id.

Identidad: Px

y = x	¬Px	y = x	p
¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	¯¯¯¯¯	Línea de cierre
├ Py	├ ¬(y = x)	├ x = y	├ x = x

[editar] Cálculo de relaciones

En algunas ocasiones la validez de un argumento reside en las relaciones que una o varias proposiciones establecen entre varios individuos.

Así la relación “ser más grande que” fundamenta un argumento claramente válido:

Antonio es más grande que Pepe, y Pepe es más grande que Juan. Luego Juan es más grande que Antonio.

Simbolización

Sea la relación

R = ser más grande que;

a = Antonio;

p = Pepe

Rap Simboliza la proposición Antonio es más grande que Pepe.

Nota importante: es fundamental la consideración del orden de las constantes o variables de la relación. No es lo mismo Rab que Rba como se comprende fácilmente. Aun cuando pueda haber relaciones en las que el orden no varía la relación lógica, por ejemplo “ser igual a”.

Sea ahora el argumento anteriormente considerado, donde

R = ser más grande que; a = Antonio; p = Pepe; j = Juan

El esquema de inferencia consecuente sería:

(Rap /\ Rpj) → Raj

Que nos da la forma de un esquema de inferencia basado en relaciones.

Clases de proposiciones

En función del número de los individuos entre los que se da la relación:

Diádicas, triádicas, tetrádicas…….

Diádica Raj Antonio es amigo de Juan

Triádica: Rsmv Segovia está entre Madrid y Valladolid

Tetrádica: Ramjc Antonio cambió la moto a Juan por un coche

Funciones proposicionales

Si sustituimos las constantes individuales por variables de individuos tendríamos:

Rxy Rxyz Rwxyz

Proposiciones generales y cuantificadores

Salta a la vista la dificultad que encierra el manejo de tantas variables y sus cuantificadores; por eso simplificamos la consideración a relaciones binarias.

Para ejemplificación de las proposiciones consideramos la relación A = amar a

/\x /\y Axy Todo ama a todo

/\y /\x Axy Todo es amado por todo

\/x \/y Axy Algo ama a algo

\/y \/x Axy Algo es atraído por algo

/\x /\y Axy Nada ama cosa alguna

/\y /\x Axy Nada es amado por cosa alguna

Teniendo en cuenta las posibles conectivas entre variables y cuantificadores la simbolización requiere un análisis lógico complejo del lenguaje, teniendo en cuenta que no siempre es necesario explicitar relaciones cuando éstas no intervienen en la forma lógica del argumento.

La simbolización, debido a la ambigüedad del lenguaje, y a veces al contenido de las mismas relaciones, no siempre es clara ni convincente a la hora de determinar el sentido lógico de la expresión lingüística simbolizada en proposiciones lógicas. Por eso a modo de ejemplo simbolizamos:

Consideremos la expresión: Algún golfista aficionado gana a todos los profesionales.

Consideraremos el caso de “alguno que es aficionado” = \/x Ax; /\y = Todos los que son profesionales ; y G = ganar a.

Analizamos la expresión:

\/x {(x es un aficionado) /\ (x puede ganar a todos los profesionales)}

y luego como:

\/x {(x es un aficionado) /\ /\y (Si y es profesional --> (x gana a y)}

lo que usando nuestras simbolizaciones:

\/x {Ax /\ /\y (Ay --> Gxy)}

Es evidente que la práctica hace innecesarios los pasos intermedios.

Reglas de cálculo

No es necesariio introducir nuevas reglas para tratar los argumentos que incluyen relaciones. La lista de reglas del cálculo proposicional y cuantificacional posibilitan tratar todos los argumentos relacionales, si bien la reducción de las proposiciones a unidades proposicionales a las que se puedan aplicar las reglas es realmente complicado.

[editar] Referencias

DEAÑO, ALFREDO (1974), INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL, MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2064-5.

COPI, IRVING M. (1982), LÓGICA SIMBÓLICA, MEXICO 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V.. ISBN 968-26-0134-7.

[editar] Cálculos matemáticos

Portal: Matemática

Contenidos relacionados con Matemática

[editar] 1. Cálculo aritmético

Véase también:

[editar] 2. Cálculo algebraico

Véase también:

teorema fundamental del álgebra

[editar] 3. Cálculo infinitesimal o integral

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna. Es base para casi todos los campos científicos, en especial, la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como técnicas de construcción, aviación, etc hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.

El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a las topología algebraica, topología diferencial.

[editar] Enlaces externos

Cálculo de funciones

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../c/%C3%A1/l/C%C3%A1lculo.html"

Categoría: Análisis matemático

Cálculo

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[editar] 1. Cálculo aritmético

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[editar] 3. Cálculo infinitesimal o integral

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