Elipse
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Existen al menos tres maneras equivalentes de definir las elipses:
Definición 1: Una elipse es la sección cónica que corresponde al caso β > α.
Definición 2: Sean F y F' dos puntos del plano, denominados focos, y sea d una longitud mayor que la distancia entre F y F'. En esta hipótesis, la elipse de focos F, F' y de parámetro d se define como es el lugar geométrico de los puntos del plano (M) tales que la suma de las distancias de M a los focos es constante e igual a d:
El valor de a se denomina semieje mayor de la elipse.
Definición 3: En un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor
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[editar] Propiedades
[editar] Ecuación paramétrica
La elipse anterior tiene como ecuación paramétrica x = a·cos θ, y = b·sen θ, con θ describiendo el intervalo [0;2π) (notar que θ no es el ángulo que forma OM con OM1)
[editar] Tangente a la elipse
La tangente a la elipse en el punto M (xo, yo ) admite como ecuación: x·(x - xo)/a² + y·(y - yo)/b² = 0, que se escribe también: x-xo/a² + y-yo/b² = 1 (que se obtiene con el método de desdoblamiento de las variables).
[editar] Otras propiedades
- La excentricidad de la elipse es ε = c/a.
- El área interior a la elipse es π·a·b.
- La circunferencia es una elipse en la que a = b.
- En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales.
