Elipse
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- Nota: Se procura a figura de retórica, consulte Elipse (figura de estilo).
Uma Elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.
A elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c,então a elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a; em que a > c.
Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma
- Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
tal que B2 < 4AC, onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe.
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[editar] Características
Possui:
A1A2 = 2a = eixo maior; B1B2 = 2b = eixo menor; F1F2 = 2c = distância focal.
Focos:
F1(-c,0); F2(c,0).
Relacionando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2, temos:
a2 = b2 + c2
De acordo com a definição, a distância de qualquer ponto para os focos é sempre 2a, ou seja:
d(PF1) + d(PF2) = 2a
[editar] Equações
A equação da elipse é apresentada das seguintes formas:
1) Centro na Origem:
a) Eixo maior paralelo ao eixo x: x2 / a2 + y2 / b2 = 1
b) Eixo maior paralelo ao eixo y: x2 / b2 + y2 / a2 = 1
2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):
a) Eixo maior paralelo ao eixo x: (x − h)2 / a2 + (y − k)2 / b2 = 1
b) Eixo maior paralelo ao eixo y: (x − h)2 / b2 + (y − k)2 / a2 = 1
[editar] Regras de Formação
O Eixo maior da elipse é sempre maior que o eixo menor, ou seja, a > c. A excentricidade (achatamento) da elipse deve estar sempre entre 0 < e < 1, onde e = c / a
[editar] Área
A área interior de uma elipse é dada por , onde π é a Constante de Arquimedes.
[editar] Exceções
Quando o eixo maior for igual ao eixo menor, configura-se uma circunferência de raio a, permanecendo as mesmas propriedades.
[editar] Curiosidades
A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, um barbante e um lápis. Os pontos F1 e F2 são os focos da elipse, que pode ser definida como uma curva onde a soma das distâncias r1 e r2, dos focos a um ponto qualquer P, é constante. As linhas F1 P e F2 P formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto P. Se uma sala for construída em forma de elipse, uma onda de som ou de luz, partindo de F1 será refletida para o outro foco F2 pela propriedade anterior. Esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas nos focos F1 e F2 podem conversar entre si em voz baixa sem serem ouvidas por nenhuma outra pessoa da sala.
[editar] Ver também
- Elipsóide, uma analogia da elipse uma dimensão superior
- Esferóide, a elipsóide obtida girando uma elipse ao redor de um de seus eixos
- Super elipse, uma generalizaão de uma elipse que pode parecer mais retangular
- Hipérbole
- Parábola
- Órbita
- Oval (geometria)