Fórmula de Herón

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En geometría, la fórmula de Herón plantea que la superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

$S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,$

donde p es el semiperímetro

$p=\frac{a+b+c}{2}$

La fórmula puede ser reescrita de la siguiente forma:

$S={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}.\,$

[editar] Historia

La fórmula anterior es debida a Herón de Alejandría que viene recogida y demostrada en su libro La Métrica. Actualmente se cree que Arquímedes también conocía la fórmula, incluso es posible que fuese conocida anteriormente, pero aun no ha sido demostrado

[editar] Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que:

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

por el Teorema del coseno

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsin(C), por tanto siguiendo con la demostración

$S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$

$\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

[editar] Generalización

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo de la superficies de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular la supeficie de un cuadrilátero

Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:

$S = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$