Cicloide
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Una cicloide es una curva que describe un punto perteneciente a una rueda que gira sin deslizarse, con más precisión se puede decir que es el lugar geométrico generado por el punto de una llanta o circuferencia rodando sobre una línea recta.
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[editar] Historia
El cicloide fue estudiado por primera vez por Nicolás de Cusa y posteriormente por Mersenne (monje amigo de Descartes). Galileo en el año 1599 estudió la curva y fue el primero en darle el nombre con el que la conocemos hoy en día: epicicloide, Galileo intentó averiguar el área de esta curva pegando diferentes segmentos rectos sobre la misma mediante aproximación. Unos años después, en 1634 G.P. de Roberval mostró que el área subtendida por un bucle del cicloide era tres veces él área correspondiente a la circunferencia que la genera. En 1658 Christopher Wren muestra que la longitud de un lazo de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.
En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática el problema de encontrar la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), cuando se sabe que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton , Jakob Bernoulli y L'Hospital todos ellos encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. El cicloide es empleado para resolver el problema tautocrono (Descubierto por Christian Huygens), en el que si despreciamos el rozamiento y si invertieramos una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola ésta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.
Entre las demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante demostraciones efectivas y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.
A causa de las contínuas disputas entre los matemáticos del siglo XVII el cicloide ha sido denominado "La Elena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan esta denominación poética hacia las bellas propiedades de esta curva. Sus propiedades atraen a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blas Pascal lanza un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la Cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar ya sea entorno al eje de las abcisas, o entorno al eje de las ordenadas, o bien, entorno al eje de simetría del arco de Cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que han permitido desarrollar, después, un gran número de aplicaciones industriales.
[editar] Representación Matemática
[editar] Representación paramétrica
La cicloide se genera mediante una circunferencia que tiene como centro el origen, en este caso si a es el radio de tal circunferencia se tiene que la ecuación que describe el cicloide mediante el uso de una ecuación en forma paramétrica el conjunto de puntos (x, y) definidos como:
Donde t es un parámetro real. La cicloide tiene una frecuencia de 2π y tiene una altura de 2a.
[editar] Representación Cartesiana
Si se despeja de la ecuación en paramétricas de ambas ecuaciones la variable t, se obtendrá en forma cartesiana que:
Donde el único parámetro de forma es: 'a que es el radio de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida sólo en el rango de y que está en el intervalo [0,2] y proporciona sólo la primera mitad del bucle de la cicloide.
Si se desea emplear el n-ésimo bucle de la cicliode completo se puede emplear la siguiente ecuación.
![x= a \pi \left[n + 1/2 \left[ \left(-1\right)^n -1 \right]\right] -(-1)^n\left[\arccos{\left(1-\frac{y}{a}\right)}-\sqrt{2ay - y^2}\right]](../../../math/d/2/e/d2ec4b6029126588e608c0e83ce5dd04.png)
[editar] Representación Intrínseca
La ecuación en forma intrínseca es:
Donde igualmente ρ representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea.
[editar] Usos
En el diseño de los dientes de los engranajes se emplean las cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630). En Física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del peso describe a su vez una cicloide.
[editar] Véase también
[editar] Referencias
- Curvas en la Historia, Volumen I, José Manuel Álvarez, Ed. Nivola ciencia abierta 12, 2006.
- A Catalog of Special Plane Curces, J. Dennis Lawrence, with 98 Ilustrations, Dover Publications, New York. 1972. (Capítulo 7 Trascendental Curves).
