Curva

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En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de línea continua en una dimensión. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria.

Tabla de contenidos

1 Definiciones
2 Geometría diferencial de curvas en
- 2.1 Vectores tangente, normal y binormal
3 Enlaces externos

[editar] Definiciones

En geometría, una curva en el n-espacio euclideano es un conjunto $\mathcal{C}\sub\mathbb{R}^n$ que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación diferenciable $\mathbf{x}\colon\Iota\to\mathbb{R}^n$ , i.e:

$\mathcal{C} = \{\mathbf{p}=\mathbf{x(t)} \in \mathbb{R}^n\colon t\in\Iota \}$

donde suele decirse que ( $\mathbf{x}, \Iota$ ) es una representación paramétrica o parametrización de $\mathcal{C}$ .

Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual $\Omega\cap\mathcal{C}$ admite una representación de clase $C k$ con $k\geq 1$ .

[editar] Geometría diferencial de curvas en $\mathbb{R}^3$

Artículo principal: Geometría diferencial de curvas

La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el espacio euclídeo tridimensional o, más generalmente, curvas contenidas en variedades de Riemann. En particular, en el espacio euclídeo tridimensional $\mathbb{R}^3$ , una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por su curvatura y torsión. Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamado triedro de Frênet-Serret, que se explica a continuación.

[editar] Vectores tangente, normal y binormal

Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (normal) y vector binormal (rojo) de una curva espiral.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

$\mathbf{t}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left \Vert \mathbf{r}(t) \right \|}$

$\mathbf{b}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|}$

$\mathbf{n}(t)=\mathbf{b}(t)\times \mathbf{t}(t)$

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como triedro de Frênet-Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.