Mecánica del sólido rígido

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La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecáncia de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Tabla de contenidos

1 Cinemática del sólido rígido
2 Tensor de inercia
- 2.1 Momento angular o cinético
3 Ecuaciones del movimiento
4 Bibliografía

[editar] Cinemática del sólido rígido

[editar] Centro de gravedad

El centro de gravedad o centro de masas de un sistema continuo es el punto geométrico definido como:

$\vec R_{CM} = \frac{\int\vec r dm}{\int dm} = \frac{\int\vec r dm}{M}$

En mecánica del sólido rígido, el centro de masa se usa porque tomando un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como $\scriptstyle{K={1\over2}MV^2+K_{rot}}$ , siendo M la masa total del cuerpo, V la velocidad de traslación del centro de masas y K_rot la energía de rotación del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y el tensor de inercia.

[editar] Velocidad angular

Para una punto o partícula cualquiera de un sólido rígido que se desplaza girando dado que todos los puntos están rígidamente conectados podemos hacer la siguiente descomposición de posición y velocidades, tomando un punto de referencia arbitrario $\mathbf{r}_0$ :

$\mathbf{r}(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{r}_c(t) + \mathbf{R} (t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{r}_c(t) + A(t) \mathbf{r}_0$

$\mathbf{v}(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{v}_c(t) + \boldsymbol\omega(t) \times \mathbf{R}(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{v}_c(t) + \boldsymbol\omega(t) \times (\mathbf{r}(t,\mathbf{r}_0) - \mathbf{r}_c(t)) = \mathbf{v}_c(t) + \boldsymbol\omega(t) \times A(t) \mathbf{r}_0$

$A'(t)\mathbf{r}_0 = \boldsymbol\omega(t) \times A(t)\mathbf{r}_0$

Donde

$\mathbf{r}$ es vector posición del punto o partícula
$\mathbf{r}_c$ es la posición de un punto de referencia del sólido
$A(t)\in SO(3)$ es la orientación, que viene dada por una matriz ortogonal
$\mathbf{R}$ es la posición de la partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo a lo largo del tiempo con una orientación variable.
$\mathbf{r}_0$ es la posición de la partícula con respecto al punto de referencia del cuerpo en la orientación de referencia inicial.
$\boldsymbol\omega$ es la velocidad angular
$\mathbf{v}$ es la velocidad total de la partícula
$\mathbf{v}_c$ is la velocidad "traslacional" o velocidad del punto de referencia.

[editar] Espacio de Configuración de un sólido rígido

La mecánica lagrangiana para describir un sistema mecánico con un grado finito de grados de libertad se define como una variedad diferenciable llamada espacio de configuración. El movimiento del sistema o evolución con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del espacio de configuración. Para un sólido rígido con un punto inmóvil (sólo existe rotación) el espacio de configuración viene dado por la variedad diferenciable del grupo de rotación SO(3). Cuando el sólido tiene traslación y rotación de todos sus puntos el espacio de configuración es E⁺(n), el subgrupo de isometría del grupo euclídeo (combinaciones de traslaciones y rotaciones.

[editar] Tensor de inercia

Artículo principal: Momento de inercia

[editar] Momento angular o cinético

Artículo principal: momento angular.

[editar] Ecuaciones del movimiento

[editar] Ángulos de Euler

[editar] Ecuaciones de Euler

Artículo principal: Ecuaciones de Euler

Cuando las ecuaciones del movimiento de un sólido rígido se expresan en un sistema de referencia no inercial solidario con los ejes principales de inercia del sólido rígido toman una fórmula particularmente simple conocida como ecuaciones de Euler. En general, en este sistema de referencia es mucho más sencillo integrar las ecuacuiones de movimientos que en un sistema de referencia inercial y no solidario con el cuerpo.

[editar] Ejemplo peonza asimétrica

[editar] Bibliografía

Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991.

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