Pentágono

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Un pentágono regular

En geometría, se denomina pentágono a un polígono de cinco lados.

Tabla de contenidos

1 Propiedades geométricas del pentágono regular
2 Algunas aplicaciones trigonométricas
3 Véase también
4 Enlaces externos

[editar] Propiedades geométricas del pentágono regular

En este caso el pentágono tiene las siguientes propiedades:

Todos sus ángulos internos miden 108º. Partiendo del centro, al repartir la circunferencia entre 5 lados, tenemos 72º.
Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro, quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.
Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.
Se puede trazar empleando, únicamente, regla y compás.

[editar] Área de un pentágono

El área de un pentágono regular de lado a se puede obtener de la siguiente fórmula:

$A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2$

De forma general si tenemos que el radio de la circunferencia circunscrita es r_u

$A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}$

o también:

$A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ}$

[editar] Perímetro

Siempre que supongamos que el pentágono tiene lado a:

$a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ$

O también:

$a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

[editar] Fórmula para calcular los ángulos interiores

La suma de todos los ángulos interiores de un pentágono suma 540°, y existe una fórmula general para calcular los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5):

$\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

El ángulo entre dos lados de un pentágono se puede calcular mediante la siguiente fórmula, siempre que se trate de un polígono regular:

$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ$

[editar] Pentagrama

Se forma un pentagrama desde un pentágono extendiendo un segmento entre todos los pares de vértices no adyacentes. La proporción entre los lados del pentágono y la longitud de las líneas del pentagrama tiene un factor de φ + 1, o por el contrario 2 - φ, donde φ = (1+√5)/2, es la famosa razón dorada. Esta figura tiene otras proporciones relacionadas indirectamente con la razón dorada.

[editar] Construcción de un pentágono

Un pentágono regular se trata de un polígono construible mediante el sólo empleo de regla y compás. Este proceso fue descrito Euclides en sus Elementos cerca del 300 adC. Carl Friedrich Gauss hizo al respecto algunas indagaciones teóricas generalizando para los demás polígonos.

Imagen:Geom-pentagon.jpg

Dibuje una línea horizontal y trace una circunferencia con el tamaño que se haya decidido dibujar.
Ponga la aguja del compás donde la circunferencia cruza la línea horizontal, y dibuje un semi-círculo hasta interseccionar en dos puntos en la circunferencia primera en dos lugares. Dibuje una línea vertical a través de los puntos donde el semi-círculo cruza el primer círculo. Esta línea pasará a través de un punto que llamamos (a).
Con el mismo centro, ábrase el compás de modo que se pueda sobrepasar la primera circunferencia y hágase una marca arriba y otra abajo, en el punto diametralmente opuesto y con la misma abertura de compás hacemos la misma operación marcando dos pequeñas cruces. Unimos ambas cruces con un segmento que será perpendicular a la recta horizontal y que pasará por el centro del primer círculo. El punto donde esta línea cruza con el primer círculo en la parte superior se denominará (b). Ésta es el primer vértice del pentágono.
Con la aguja del compás en (a) se traza una circunferencia que pasa por (b), dicha circunferencia intersecciona en la recta horizontal en un punto denominado (c).
Póngase la aguja en (b) y trácese una circunferencia que pase a través de (c) interseccionando en el primer círculo en dos puntos. Estos puntos en el primer círculo son el segundo y tercer vértices del pentágono.
Sin ampliar el compás, ponga su aguja en el segundo y tercer vértices, y dibuje los segmentos del círculo que pasan a través del primer círculo para encontrar las dos esquinas restantes.
Ensamble cada par de vértices adyacentes y se obtendrá el pentágono. Si se ensamblan las esquinas no adyacentes (se dibujan las diagonales del pentágono), y de esta forma se obtiene un pentagrama, que posee un pentágono regular más pequeño en el centro. Si se extienden los lados hasta que los no adyacentes interseccionen se obtiene un pentagrama más grande.