Recta

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La recta es la línea más corta que une dos puntos, y el lugar geométrico de los puntos del plano (o el espacio) en una misma dirección. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos primitivos, o sea que no es posible definirlos a partir de otros elementos ya conocidos. Sin embargo, es posible elaborar definiciones de ellos, basándose en los Postulados característicos, que determinan relaciones entre los entes fundamentales. A continuación se muestran algunas de las diferentes definiciones de la recta:

La recta es la línea más corta entre dos puntos.
La recta es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta.
La recta es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que tomados dos puntos cualquiera de ella, la pendiente $m$ calculada mediante la fórmula $m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)$ , resulta siempre constante.
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Tabla de contenidos

1 Ecuación de la recta
2 Forma simplificada de la ecuación de la recta
3 Forma segmentaria de la ecuación de la recta
4 Forma normal de la ecuación de la recta
5 La recta en coordenadas cartesianas
- 5.1 Rectas notables

[editar] Ecuación de la recta

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente, simplemente se tiene que poner la diferencia de ordenadas en el primer miembro y el producto de la pendiente por la diferencia de las abscisas en el segundo; la ecuación queda así:

$y_2 - y_1 = m (x_2 - x_1)\!$

Esta ecuación se suele utilizar cuando se desea obtener la ecuación de una recta, cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos.

La pendiente $m$ es la tangente de la recta con el eje de abscisas.

[editar] Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conocen la pendiente y la ordenada del punto donde la recta se corta con el eje de las ordenadas, simplemente se sustituyen en la ecuación $y 2 - y 1 = m (x 2 - x 1)$ :

$y - b = m (x - 0)\!$

$y - b = m x \!$

$y = m x + b \!$

Está es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen a la cual se le puede llamar $b$ . También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

[editar] Forma segmentaria de la ecuación de la recta

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar $b$ , a la abscisa al origen se le puede llamar $a$ . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos $a$ y $b$ (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son:

$(0, b)\!$ y $(a, 0)\!$

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

$m = \left( \frac{b - 0}{0 - a} \right) = \frac{b}{- a}$

Después se sustituye en la ecuación $y 2 - y 1 = m (x 2 - x 1)$ , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso $(a,0)$ :

$y - 0 = - \frac {b}{a}(x - a)$

$ay = - bx + ab\!$

$bx + ay = ab\!$

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente $a b$ :

$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!$

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.

[editar] Forma normal de la ecuación de la recta

Esta es la forma normal de la recta:

$x cos\omega + y sen\omega - p = 0 \!$

[editar] La recta en coordenadas cartesianas

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

$y = m \cdot x + n$

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

$y_{A} = m \cdot x_{A} + n$

$y_{B} = m \cdot x_{B} + n$

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

$m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$

$n = \frac{y_{A} \cdot x_{B} - y_{B} \cdot x_{A}}{x_{B} - x_{A}}$

m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x. m es el resultado de dividir la ordenada por la abscisa de un punto cualquiera de la recta.
n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).