Teoría de probabilidad
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La teoría de probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en vapor.
Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas: por ejemplo, arrojar una moneda o un dado.
En 1933, el matemático soviético Andrei Kolmogorov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la modelación matemática de sofisiticados fenómenos aleatorios. Actualmente, estos fenómenos encuentran aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
En este artículo se reseñan los conceptos básicos de la probabilidad.
Tabla de contenidos |
[editar] Definición clásica
La probabilidad es la característica de un suceso del que existen razones para creer que se realizará. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza el experimento.
La probabilidad p de aparición de un suceso S de un total de n casos posibles igualmente factibles es la razón entre el número de ocurrencias h de dicho suceso (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q donde:
Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
[editar] Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática
Según Spiegel (1) la definición clásica de la probabilidad se define en base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando Ω es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como
,
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.
La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que Ω debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen. La probabilidad tiene muchas propiedades importantes, que se muestra en la página Axiomas de probabilidad.
[editar] Probabilidad discreta
Discreta porque la variable sólo puede tomar valores de un conjunto ya sea finito o infinito pero contable.
[editar] Probabilidad continua
Una variable aleatoria es una función
que da un valor numérico a cada suceso en Ω.
[editar] Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.
[editar] Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional a la probabilidad de que un suceso se cumpla habiéndose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera:
| pB(A) ó p(A\B) |
Dicha probabilidad se calculará de la siguiente forma:
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[editar] Combinatoria
La teoría combinatoria se aplica de diversas maneras al cálculo de probabilidades.
[editar] Combinaciones
[editar] Permutaciones
[editar] Véase también
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Contenidos relacionados con Matemática |
[editar] Bibliografía
- Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, México
- Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
- Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
