Baza ortonormalna

Z Wikipedii

Baza ortonormalna – zbiór wektorów przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym (a więc przestrzeni wektorowej nad ciałem liczbowym, w szczególności może to być przestrzeń Hilberta) o tej własności, że wszystkie jego wektory są parami ortogonalne, mają normę równą 1, a powłoka liniowa tego zbioru jest zbiorem gęstym w danej przestrzeni w topologii generowanej przez iloczyn skalarny.

Jeżeli opuścić wymóg, by wektory bazy miały normę 1, otrzymujemy pojęcie bazy ortogonalnej. Jeżeli (v_i) jest bazą ortogonalną, to (v_i/||v_i||), gdzie ||v_i|| oznacza normę wektora v_i, jest już bazą ortonormalną.

W teorii skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych, bazę ortonormalną definiuje się zwykle jako bazę, której wektory są parami ortogonalne i mają normę 1. W przestrzeni skończonego wymiaru określenie to jest równoważne poprzedniemu, na ogół jednak baza ortonormalna nie jest bazą w zwykłym sensie przestrzeni liniowej. W przestrzeniach nieskończenie wymiarowych pojęcia te nie są równoważne. Dla odróżnienia bazy w sensie teorii przestrzeni liniowej od bazy ortogonalnej (ortonormalnej) tę pierwszą nazywa się czasem bazą Hamela. Znaczenie baz Hamela dla teorii przestrzeni z iloczynem skalarnym jest niewielkie.

Spis treści 1 Przykłady 2 Podstawowe wzory 3 Istnienie bazy ortonormalnej 3.1 Ortogonalizacja

[edytuj] Przykłady

• Zbiór {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej R³.
• Zbiór {(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...)} jest bazą ortonormalną przestrzeni l² wszystkich ciągów a_n liczb rzeczywistych (lub zespolonych) o tej własności, że szereg ∑a_n² jest zbieżny.
• Zbiór {e^2πin : n ∈ Z} gdzie jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej L²([0,1]). Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
• Jeśli B jest dowolnym zbiorem, a l²(B) oznacza przestrzeń złożoną z wszystkich funkcji zespolonych określonych na B i takich, że szereg:

jest zbieżny (z definicji sumę tę rozumie się w ten sposób, że co najwyżej przeliczalna ilość f(b) jest różna od zera), to rodzina funkcji {f_b : b ∈ B}, gdzie f_b(c) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy b=c i 0 w pozostałych przypadkach, jest bazą ortogonalną przestrzeni l²(B).

[edytuj] Podstawowe wzory

Jeżeli B jest bazą ortonormalną przestrzeni V, to dowolny wektor v tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

Powyższa równość nazywana jest rozwinięciem Fouriera elementu v w bazie B. Normę wektora v można wyrazić za pomocą równości:

.

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy B jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń V z bazą B jest izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią l²(B) z zachowaniem iloczynu skalarnego.

[edytuj] Istnienie bazy ortonormalnej

Jeżeli S jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta V, to domknięcie powłoki liniowej zbioru S jest podprzestrzenią liniową V. S jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna można uzasadnić, że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną.

[edytuj] Ortogonalizacja

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.