Całka względem miary wektorowej
Z Wikipedii
Całka względem miary wektorowej - rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue'a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie - względem miar wektorowych - zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.
[edytuj] Konstrukcja
Niech M będzie niepustym zbiorem, będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech oznacza zbiór wszystkich -mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru M w ciało skalarów K. Dalej, niech E będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad K oraz będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj. .
Jeżeli funkcja jest -mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci
- ,
gdzie , a zbiory są parami rozłączne i . Wzór
określa odzworowanie liniowe przestrzeni
w przestrzeń E. Odwzorowanie to jest ciągłe oraz . Podprzestrzeń Y jest gęsta, więc odwzorowanie Tν można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni w przestrzeń E, które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal . Jeżeli , to zamiast Tνf piszemy też
- .
Jeżeli oraz , to
- .
Jeżeli , a jest ograniczoną funkcją -mierzalną, to
- ,
gdzie dana jest wzorem f0(x) = f(x), gdy oraz f0(x) = 0, gdy .
Jeżeli są rozłączne, a jest ograniczoną funkcją -mierzalną, to
- .
Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.
[edytuj] Literatura
- Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
- Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.