Miara spektralna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykład
4 Zobacz też
5 Źródła

Miara spektralna - w analizie funkcjonalnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $\mathfrak{M}$ σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech $H$ będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech $L (H)$ oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni $H$ .

Funkcję $E\colon \mathfrak{M}\to L(H)$ nazywamy miarą spektralną w przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$E (B)$ jest operatorem rzutowym dla $B\in \mathfrak{M}$ .
$E (X) = I$ ,
$E(B_1\cap B_2)=E(B_1)\circ E(B_2),\; B_1, B_2\in \mathfrak{M}$
Funkcja $B\mapsto E(B)x,\; x\in H,\; B\in \mathfrak{M}$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

[edytuj] Własności

Gdy $B_1, B_2\in \mathfrak{M}$ oraz $B_1\subseteq B_2$ , to $E(B_1)\leqslant E(B_2)$ w sensie $(E(B_1)h|h)\leqslant (E(B_2)h|h),\; h\in H$ . Ponieważ $\|E(B_1)h\|^2=(E(B_1)h|h)$ , więc z powyższego wynika, że $E(B_1)H\subseteq E(B_2)H$ - operator $E (B 1)$ rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni $E (B 2) H$ .
Jeżeli $h,k\in H$ oraz $B\in\mathfrak{M}$ , to równość $E h, k (B): = (E (B) h | k)$ określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez $\|h\| \|k\|$ .

[edytuj] Przykład

Niech $X$ będzie przestrzenią zwartą oraz $\mathfrak{M}=\mathcal{B}(X)$ - σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli $\mu\colon \mathcal{B}(X)\to [0,\infty]$ jest miarą oraz $H = L 2 (μ)$ oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni $X$ , całkowalnych z kwadratem w sensie $μ$ , to funkcja dana wzorem $E(B)f=f\cdot \mathbf{1}_B,\; B\in \mathcal{B}(X), f\in H$ jest miarą spektralną, gdzie $\mathbf{1}$ oznacza funkcję charakterystyczną.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
hermitowska miara spektralna,
twierdzenie Gelfanda-Najmarka,
twierdzenie spektralne.

[edytuj] Źródła

Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.

Kategorie: Miary wektorowe • Analiza spektralna

We provide Linux to the World

Miara spektralna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykład

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Źródła

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj