Ciało liczbowe
Z Wikipedii
Ciało liczbowe - w matematyce każde ciało będące rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych . Innymi słowy, jest to ciało zawierające jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad jest skończony.
Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.
[edytuj] Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma
Każde ciało liczbowe K jest przestrzenią liniową nad , które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała K, z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad .
Załóżmy, że K jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad ) równym n. Ponieważ K jest n-wymiarową przestrzenią wektorową nad , to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg taki, że x1e1 + x2e2 + ... + xnen = x. Reprezentacja regularna elementu x to macierz A = {aij}, która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:
Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów i ich reprezentacji regularnych A(x),A(y), zachodzi A(xy) = A(x)A(y), tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy {ei}, a tylko od elementu . Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego:
-
- Tr(x) = Tr(A(x))
- N(x) = N(A(x))
Trywialne wnioski z tych definicji to:
-
- Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y)
- Tr(λx) = λTr(x)
- N(xy) = N(x)N(y)
- N(λx) = λnN(x)
gdzie λ jest dowolnym elementem K, zaś .
[edytuj] Zobacz też
- Ciało kwadratowe
- Ciało cyklotomiczne
- Ciało lokalne
- Ciało globalne
- Rozszerzenie abelowe
- Teoria ciała klas
- Teoria Galois
- Teoria Iwasawy