Liczby wymierne

Z Wikipedii

Liczby wymierne — liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera, czyli liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Tak więc zbiór liczb wymiernych to

.

Dopełnienie zbioru liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych nazywamy liczbami niewymiernymi.

Spis treści 1 Definicja 2 Własności 3 Uogólnienia 4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Liczby wymierne są ciałem ułamów pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić następująco.

Niech w zbiorze par liczb całkowitych , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a,b)˜(c,d) wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc.

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się działania

• [(a,b)] + [(c,d)] = [(ad + bc,bd)] i
• .

Parę (a,b) zapisuje się zwykle w postaci ułamka , bądź jeśli b = 1, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą a.

[edytuj] Własności

• Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
• Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
• Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych , liczby wymierne są gęste w .

[edytuj] Uogólnienia

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem:

• liczb algebraicznych,
• liczb rzeczywistych ,
• liczb zespolonych ,
• kwaternionów ,
• oktaw Cayleya,
• sedenionów.

Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są:

• liczby naturalne ,
• liczby całkowite .

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• liczba,
• liczby niewymierne,
• liczby przestępne,
• ułamek egipski.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.