Wielomian charakterystyczny

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz jednostkowa macierz zerowa macierz elementarna macierz schodkowa macierz trójkątna macierz symetryczna macierz diagonalna macierz idempotentna macierz nilpotentna macierz hermitowska macierz unitarna macierz ortogonalna macierz dodatnio określona Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy potęgowanie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

W algebrze liniowej każdej macierzy kwadratowej można przypisać jej wielomian charakterystyczny. Zawiera on informacje o niektórych własnościach tej macierzy, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku, i śladzie.

Spis treści 1 Motywacja 2 Definicja 3 Przykład 4 Właściwości

[edytuj] Motywacja

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować tworząc wielomian którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości a, b, c, to wielomian charakterystyczny ma postać

(t − a)(t − b)(t − c)...

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy A sytuacja wygląda następująco: jeśli λ jest wartością własną A, to istnieje wektor własny v≠0, taki że

A v = λv,

czyli

(λI − A)v = 0

(gdzie I jest macierzą jednostkową). Ponieważ v jest niezerowy, oznacza to że macierz λI − A jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu det(t I − A) są wartościami własnymi A.

[edytuj] Definicja

Dla dowolnego ciała K (w szczególności mogą być to liczby rzeczywiste lub liczby zespolone) możemy rozważać macierze n×n nad tym ciałem. Wielomian charakterystyczny takiej macierzy A, oznaczany przez p_A(t), definiuje się jako

p_A(t) = det( t I − A )

[edytuj] Przykład

Przypuśćmy że chcemy obliczyć wielomian charakterystyczny macierzy

Obliczamy wyznacznik macierzy

otrzymując:

Jest to wielomian charakterystyczny A.

[edytuj] Właściwości

Stopień wielomianu macierzy n×n wynosi zawsze n. Wyraz wolny tego wielomianu (p_A(0)) jest równy (-1)ⁿ razy wyznacznik A. Współczynnik przy t ^n-1 jest równy minus tr(A). Dla macierzy 2×2, mamy zatem elegancką reprezentację wielomianu:

t ² − tr(A)t + det(A).

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz 2k+1×2k+1 ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego A samą macierz A, otrzymamy macierz zerową: p_A(A) = 0. A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy A musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę - macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz A jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad K.