Duże liczby kardynalne

Z Wikipedii

Duże liczby kardynalne (ang. large cardinals) – liczby kardynalne których istnienia nie można udowodnić w ZFC i co więcej takie, dla których niesprzeczność istnienia nie wynika z niesprzeczności ZFC, a jednocześnie można wykazać niesprzeczność nieistnienia tych liczb.

Ściśle mówiąc, to rozważa się różne własności liczb kardynalnych (i duże liczby to liczby kardynalne mające pewne z tych własności). Postulaty że istnieją liczby kardynalne spełniające określonego rodzaju własności dużych liczb noszą wspólną nazwę aksjomatów dużych liczb (ang. Large Cardinals Axioms).

Spis treści 1 Hierarchia niesprzeczności 2 Liczby niesprzeczne z V=L 3 Większe liczby 4 Zanurzenia elementarne 5 Zalecana dalsza lektura 6 Zobacz też

[edytuj] Hierarchia niesprzeczności

Cechą definiującą własności dużych liczb kardynalnych jest to, że nie można udowodnić że niesprzeczność ZFC implikuje niesprzeczność istnienia liczby z odpowiednią własnością. Wyjaśnijmy to na przykładzie liczb nieosiągalnych. Zauważmy najpierw, że (w ZFC), jeśli κ jest liczbą silnie nieosiągalną, to V_κ jest modelem ZFC. Niech I będzie zdaniem istnieje liczba silnie nieosiągalna. Na podstawie poprzedniego stwierdzenia,

(* ) w ZFC+I można udowodnić że istnieje model dla ZFC, a więc

(**) w ZFC+I można udowodnić że ZFC jest niesprzeczne.

Przypuśćmy teraz nie wprost, że wykazaliśmy iż

(!) jeśli ZFC jest niesprzeczne, to także ZFC+I jest niesprzeczne.

Zakładając rzecz jasna że "ZFC jest niesprzeczne", wiemy iż także "ZFC+I jest niesprzeczne". Używając stwierdzenia (**) możemy teraz zaargumentować, że zdanie "ZFC+I jest niesprzeczne" jest dowodliwe w ZFC+I. To z kolei przeczy drugiemu twierdzeniu Gödla o niezupełności.

Z drugiej strony, jeśli istnieją liczby nieosiągalne i κ jest pierwszą taką liczbą, to L_κ jest modelem dla "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne". Zatem jeśli teoria ZF jest niesprzeczna, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne" jest niesprzeczna.

Większość własności dużych liczb kardynalnych tworzy ciąg liniowo uporządkowany ze względu na "siłę niesprzeczności istnienia danej liczby". Można to sformalizować następująco. Dla danych własności W₁ i W₂ dużych liczb, dokładnie jedno z następujących stwierdzeń jest prawdziwe:

• W ZFC można udowodnić, że

"ZFC+ jest niesprzeczne" wtedy i tylko wtedy gdy "ZFC+ jest niesprzeczne".

• W ZFC+ można udowodnić, że "ZFC+ jest niesprzeczne".
• W ZFC+ można udowodnić, że "ZFC+ jest niesprzeczne".

[edytuj] Liczby niesprzeczne z V=L

Dla wielu matematyków fakt że nie można udowodnić w ZFC niesprzeczności istnienia dużych liczb jest trochę odstraszającym. Jednak w miarę akumulacji istotnych wyników mówiących o definiowalnych podzbiorach prostej rzeczywistej a wymagających założenia istnienia pewnych dużych liczb, liczba przeciwników tego typu postulatów maleje. Można zaryzykować tezę, że współcześni matematycy nie mają wątpliwości że założenia istnienia dużych liczb które są niesprzeczne z aksjomatem konstruowalności są całkowicie akceptowalne. Wśród liczb które mogą istnieć w L znajdują się następujące liczby.

• Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczną regularną liczbą kardynalną, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.
• Liczba słabo Mahlo to słabo nieosiągalna liczba κ taka, że zbiór {μ < κ:μ jest regularną liczbą kardynalną } jest stacjonarnym podzbiorem κ.
  Jeśli κ jest liczbą słabo Mahlo, to nawet zbiór {μ < κ:μ jest słabo nieosiągalna } jest stacjonarny.
• Liczba Mahlo to silnie nieosiągalna liczba κ taka, że zbiór {μ < κ:μ jest regularną liczbą kardynalną } jest stacjonarnym podzbiorem κ.
  Jeśli κ jest liczbą Mahlo, to nawet zbiór {μ < κ:μ jest silnie nieosiągalna } jest stacjonarny.
• Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest liczbą słabo zwartą jeśli

dla każdej funkcji istnieje zbiór mocy κ taki, że obcięcie jest funkcją stałą.

Powyżej, dla zbioru X, [X]² oznacza rodzinę wszystkich dwuelementowych podzbiorów X.

[edytuj] Większe liczby

• Liczba Ramseya to taka liczba kardynalna κ, że

dla każdej funkcji istnieje zbiór mocy κ taki, że dla każdej liczby naturalnej n obcięcie jest funkcją stałą.

Powyżej, dla zbioru X, [X]ⁿ oznacza rodzinę wszystkich n-elementowych podzbiorów X.

• Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest mierzalna jeśli istnieje κ-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów κ.
• Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest silnie zwarta jeśli dla każdego zbioru X, każdy κ-zupełny filtr podzbiorów X jest zawarty w pewnym κ-zupełnym ultrafiltrze podzbiorów X.
• Niech κ będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Dla zbioru A mocy co najmniej κ niech [A] ^{< κ} będzie rodziną wszystkich podzbiorów A mocy mniejszej niż κ. Powiemy, że κ jest liczbą super-zwartą jeśli dla każdego zbioru A mocy co najmniej κ istnieje κ-zupełny ultrafiltr U podzbiorów [A] ^{< κ} taki że

(i) dla każdego zbioru mamy , oraz

(ii) każda funkcja taka że jest stała na zbiorze z U.

[edytuj] Zanurzenia elementarne

Większość własności dużych liczb powyżej liczby mierzalnej związana jest z istnieniem zanurzeń elementarnych V w pewien model wewnętrzny M. Przypuśćmy, że κ jest liczbą mierzalną, oraz U jest κ-zupełnym ultrafiltrem na κ. Wówczas ultrapotęga jest modelem ufundowanym; niech M będzie kolapsem Mostowskiego tego ultraproduktu. Z kanonicznego zanurzenia V w ultrapotęgę otrzymujemy zanurzenie elementarne takie, że . Duża część własności większych liczb kardynalnych może być zdefiniowana przez użycie zanurzeń elementarnych , spełniających pewne dodatkowe własności (a odpowiednie liczby są opisane wówczas jako pierwsze które zostały ruszone przez takie zanurzenia).

[edytuj] Zalecana dalsza lektura

• Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.
• Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2
• Kanamori, Akihiro: The higher infinite. Large cardinals in set theory from their beginnings. Wydanie II. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00384-3

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• teoria mnogości,
• opisowa teoria mnogości,
• aksjomat determinacji,