Uniwersum konstruowalne

Z Wikipedii

Uniwersum konstruowalne (lub uniwersum Gödla) - klasa zbiorów budowana przy założeniu ZF która tworzy model wewnętrzny ZFC. W pewnym sensie klasa ta składa się tylko z tych zbiorów, które muszą istnieć aby aksjomaty ZF były spełnione i każdy jej element jest opisany/skonstruowany przy użyciu elementów prostszych. Zwyczajowo uniwersum konstruowalne oznacza się przez L a jego elementy nazywane są zbiorami konstruowalnymi.

Konstrukcja L była podana przez austriackiego matematyka Kurta Gödla w celu udowodnienia, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH). Sam wynik był ogłoszony w 1938, ale pierwszy szkic dowodu (z konstrukcją L) ukazał się w 1939^[1]. Rok później Gödel opublikował monografię podającą szczegółowy opis tego modelu^[2].

Z uniwersum konstruowalnym związany jest aksjomat konstruowalności. Jest to zdanie orzekające, że każdy zbiór jest konstruowalny (tzn V=L). Aksjomat konstruowalności jest niezależny od standardowych aksjomatów ZFC (ani tego aksjomatu, ani jego zaprzeczenia nie można udowodnić na gruncie ZFC).

Czytelnika zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej tematyki odsyłamy do monografii Thomasa Jecha^[3].

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Operacje Gödla
- 1.2 Klasy L_α i L
2 Własności
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Definicje

[edytuj] Operacje Gödla

Dla zbiorów $x, y$ określamy

${\mathfrak F}_1(x,y)=\{x,y\}$ ,		${\mathfrak F}_2(x,y)=x\times y$ ,
${\mathfrak F}_3(x,y)=\{(u,v):u\in x\ \wedge\ v\in y\ \wedge\ u\in v\}$ ,		${\mathfrak F}_4(x,y)=x\setminus y$ ,
${\mathfrak F}_5(x,y)=x\cap y$ ,		${\mathfrak F}_6(x,y)=\bigcup x$ ,
${\mathfrak F}_7(x,y)={\rm dom}(x)$ ,		${\mathfrak F}_8(x,y)=\{(u,v):(v,u)\in x\}$ ,
${\mathfrak F}_9(x,y)=\{(u,v,w):(u,w,v)\in x\}$ ,		${\mathfrak F}_{10}(x,y)=\{(u,v,w):(v,w,u)\in x\}$ .

Definiujemy domknięcie Gödla zbioru A w sposób następujący. Najpierw przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in\omega$ określamy zbiory $W n$ tak, że

W 0 = A

$W_{n+1}=W_n\cup\{{\mathfrak F}_i(x,y):x\in W_n\ \wedge\ y\in W_n\ \wedge\ i=1,2,\ldots,10\}$ .

Następnie kładziemy ${\rm cl}(A)=\bigcup\limits_{n<\omega} W_n$ . Warto zauważyć, że zbiór

cl(A)

jest najmniejszym zbiorem zawierającym A i zamkniętym na operacje ${\mathfrak F}_1,\ldots,{\mathfrak F}_{10}$ .

Dla zbioru A określamy też

${\rm def}(A)={\rm cl}\left(A\cup\{A\}\right)\cap {\mathcal P}(A)$ ,

gdzie ${\mathcal P}(A)$ oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru A.

[edytuj] Klasy L_α i L

Przez indukcję po liczbach porządkowych definiujemy hierarchię zbiorów konstruowalnych:

${\bold L}_0=\emptyset$ ,

${\bold L}_\gamma=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}{\bold L}_\alpha$ gdy

γ

jest liczbą graniczną,

${\bold L}_{\alpha+1}={\rm def}\left({\bold L}_\alpha\right)$ .

Następnie kładziemy ${\bold L}=\bigcup\{{\bold L}_\alpha:\alpha$ jest liczbą porządkową $}$ .

Klasę L nazywamy uniwersum konstruowalnym a jej elementy nazywamy zbiorami konstruowalnymi.

Aksjomat konstruowalności to zdanie stwierdzające, że wszystkie zbiory są konstruowalne, tzn " ${\bold V}={\bold L}$ ".

[edytuj] Własności

Każdy ze zbiorów ${\bold L}_\alpha$ jest tranzytywny (tzn. jeśli $x\in {\bold L}_\alpha$ , to $x\subseteq {\bold L}_\alpha$ ) oraz $\{x\in {\bold L}_\alpha:x$ jest liczbą porządkową $} = α$ . Stąd ${\bold L}$ jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe.
Jeśli M jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe i taką że $M\models {\bold{ZF}}$ , to ${\bold L}\subseteq M$ .
${\bold L}$ (z relacją $\in$ ) jest modelem ZFC. Ponadto następujące zdania są spełnione w tym modelu:

(i) aksjomat konstruowalności ${\bold V}={\bold L}$ ,

(ii) uogólniona hipoteza continuum GCH,

(iii) diament $\diamondsuit$ (zasada kombinatoryczna Jensena),

(iv) istnieje drzewo Suslina, tzn ¬SH,

(v) istnieje drzewo Kurepy, tzn KH,

(vi) nie istnieje liczba mierzalna,

(vii) istnieje Σ¹₂ dobre uporządkowanie prostej,

(viii) istnieje $\Delta^1_2$ -podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,

(ix) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego

(x) hipoteza Whiteheada, tzn. każda grupa przemienna

A

taka, że $\mathbf{Ext}^1(A, \mathbb Z) = 0$ jest wolną grupą abelową (zob. funktor Ext).

Zdania (ii)-(ix) sformułowane powyżej są konsekwencjami aksjomatu konstruowalności (zdania (i)). Jego przyjęcie powoduje, że powyższe zdania są prawdziwe również w uniwersum von Neumanna, dając odpowiedź na wiele problemów teorii mnogości oraz pewnych interesujących interesujących pytań w analizie.

[edytuj] Bibliografia

↑ Gödel, Kurt: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. Proc. nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), s. 220-224.
↑ Gödel, Kurt: The consistency of the continuum hypothesis. "Annals of Mathematical Studies." 3, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1940.
↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Teoria mnogości

We provide Linux to the World

Uniwersum konstruowalne

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Operacje Gödla

[edytuj] Klasy L_α i L

[edytuj] Własności

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

We provide Linux to the World

Uniwersum konstruowalne

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Operacje Gödla

[edytuj] Klasy Lα i L

[edytuj] Własności

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Klasy L_α i L