Funkcjonał dwuliniowy
Z Wikipedii
Spis treści |
Funkcjonał dwuliniowy (forma dwuliniowa) – w algebrze dwuliniowej dwuargumentowy funkcjonał liniowy ze względu na każdą zmienną, znalazł także zastosowanie w rachunku wariacyjnym i analizie funkcjonalnej.
[edytuj] Definicja
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Funkcjonałem dwuliniowym (formą dwuliniową) określonym na V nazywamy takie odwzorowanie , że dla każdego oraz zachodzi:
- 1) ,
- 2) .
Jeśli ponadto
- 3) B(x,y) = B(y,x),
to B nazywamy funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym (formą dwuliniową symetryczną).
Jeżeli
- 3') B(x,y) = − B(y,x),
to B nazywamy funkcjonałem dwuliniowym antysymetrycznym (formą dwuliniową antysymetryczną).
Jeśli ponadto
- 4) B(x,x) = 0,
to B nazywamy funkcjonałem dwuliniowym alternującym (formą dwuliniową alternującą).
[edytuj] Przykłady
- Funkcjonał zerowy: .
- Zwykły iloczyn skalarny .
- Ustalmy i rozważmy określony .
- określony .
[edytuj] Macierz
[edytuj] Definicja
Niech oraz będzie bazą V. Macierz nazywamy macierzą funkcjonalu dwuliniowego B w bazie .
[edytuj] Twierdzenie
Jeśli B jest macierzą dwuliniowego funkcjonału B w bazie i ponadto A = PTBP, gdzie . Wówczas A jest macierzą B w pewnej bazie, gdzie oznacza pełną grupę liniową.
[edytuj] Rząd
Rozważamy tylko przestrzenie skończeniewymiarowe.
[edytuj] Definicja
Niech macierzą funkcjonału dwuliniowego B w pewnej bazie. Wówczas rząd macierzy B nazywamy rzędem funkcjonału dwuliniowego B i oznaczamy go podobnie przez lub r(B).
[edytuj] Poprawność definicji
- Rząd funkcjonału nie zależy od wyboru bazy przestrzeni.
- Funkcjonał dwuliniowy nazywamy nieosobliwym, gdy macierz B jest nieosobliwa.
- Funkcjonał dwuliniowy nazywamy symetrycznym, gdy macierz B jest symetryczna.
- Funkcjonał dwuliniowy nazywamy niezdegenerowanym gdy macierz B jest symetryczna i nieosobliwa. Jest to równoważne z warunkiem, że oraz B jest symetryczny.
[edytuj] Twierdzenie o postaci analitycznej
Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową nad ciałem K oraz będzie funkcjonałem dwuliniowym, zaś macierzą B w bazie przestrzeni V.
Jeśli oraz
- ,
dla pewnych , to
- .
[edytuj] Dowód
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki
- forma kwadratowa,
- funkcjonał,
- przestrzeń ortogonalna.