Forma kwadratowa

Z Wikipedii

Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – rodzaj funkcjonału na przestrzeni liniowej. Termin forma kwadratowa zmiennych $x_1,\ldots,x_n$ jest także używany na określenie wielomianu jednorodnego drugiego stopnia (czyli sum jednomianów stopnia drugiego w zmiennych $x_1,\ldots,x_n$ ).

[edytuj] Definicje

Niech K będzie ciałem charakterystyki różnej od 2 (czyli $1+1\neq 0$ w ciele $K$ ). Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Odwzorowanie $F:V\longrightarrow K$ nazwiemy funkcjonałem kwadratowym (albo też formą kwadratową) jeśli

(i)

F (α v) = α 2 F (v)

dla wszystkich $v\in V$ oraz $\alpha\in K$ , oraz

(ii) funkcja $\varphi:V\times V\longrightarrow K$ zadana przez formułę

$\varphi(v_1,v_2)=\frac{1}{2}\Big(F(v_1+v_2)-F(v_1)-F(v_2)\Big)$

jest funkcjonałem dwuliniowym.

Funkcjonał dwuliniowy $\varphi$ zdefiniowany jak w warunku (ii) dla formy kwadratowej F nazywamy formą dwuliniową odpowiadającą formie kwadratowej $F$ .
Jeśli $K={\mathbb R}$ jest ciałem liczb rzeczywistych to formę kwadratową F na przestrzeni wektorowej V nad ${\mathbb R}$ nazwiemy dodatnią formą kwadratową jeśli

F (v) > 0

dla wszystkich $v\in V\setminus\{0\}$ .

Odwracając znak nierówności na przeciwny otrzymamy definicję ujemnej formy kwadratowej.

[edytuj] Własności

Niech K będzie ciałem charakterystyki różnej od 2 i niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad K.

Jeśli $\varphi:V\times V\longrightarrow K$ jest funkcjonałem dwuliniowym a funkcja $F:V\longrightarrow K$ dana jest przez $F(v)=\varphi(v,v)$ (dla $v\in V$ ), to $F$ jest funkcjonałem kwadratowym na przestrzeni $V$ .
Przypuśćmy, że $\bar{f}=\langle f_1,\ldots,f_n\rangle$ jest bazą przestrzeni sprzężonej $V *$ oraz F jest funkcjonałem kwadratowym na V. Wówczas dla pewnej macierzy symetrycznej

$A=\begin{bmatrix}a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{bmatrix}\in M_{n \times n}(K)$

mamy

$F=\sum_{i,j=1}^n a_{i j} f_i f_j$ .

Macierz A nazywamy macierzą formy kwadratowej $F$ w bazie $\bar{e}$ .

Zatem, jeśli $\bar{e}=\langle e_1,\ldots,e_n\rangle$ jest bazą przestrzeni $V$ , to dla pewnej macierzy $A= (a_{i j })\in M_{n \times n}(K)$ mamy

$F(v)=\sum_{i,j=1}^n a_{i j} \xi_i \xi_j$ , gdy $v=\xi_1 e_1+\ldots+x_n e_n$ .

powyższą formułę podaje się też w postaci

F = X T A X

gdzie:

$X=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}$

Rząd macierzy formy kwadratowej jest taki sam w każdej bazie przestrzeni sprzężonej.
Twierdzenie Lagrange'a: Dla każdej formy kwadratowej na V można wybrać taką bazę przestrzeni sprzeżonej, że macierz formy F w tej bazie ma poza przekątną wszystkie wyrazy równe zeru. (Taką bazę nazywamy bazą kanoniczną formy F a odpowiadającą jej macierz nazywamy macierzą kanoniczną formy kwadratowej.)

[edytuj] Forma a funkcjonał

Podobnie jak w przypadku ogólniejszych terminów forma i funkcjonał, w literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma kwadratowa i funkcjonał kwadratowy.

Gleichgewicht^[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Pierwszy zwrot oznacza odwzorownie w ciało, a drugi zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak pisze on:

Niech $\varphi\in L(V^2;K)$ będzie funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. Funkcja $F:V\longrightarrow K$ określona w następujący sposób:

$F(x)=\varphi(x,x)$

nazywa się funkcjonałem kwadratowym danym na przestrzeni $V$ .

Następnie stwierdza on:

[...] Otrzymujemy stąd od razu ogólną postać funkcjonału kwadratowego w przestrzeni skończonego wymiaru:

(10.5) $F(x)=\sum_{i,j=1}^n\alpha_{ij}\xi_i\xi_j$

gdzie

α i j = α j i

( $i,j=1,2,\ldots,n$ ). Prawa strona we wzorze (10.5) nazywa się formą kwadratową.

Bardzo podobną terminologię stosuje też Newelski^[2].

Zarówno Komorowski^[3] jak i Więsław^[4] używają jedynie określenia forma kwadratowa, podając taką samą definicję jak sformułowana w sekcji z definicjami.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strony 179-180. ISBN 83-01-03903-5
↑ Newelski; Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.
↑ Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strona 104.
↑ Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974. Strona 217

Kategoria: Algebra liniowa

We provide Linux to the World

Forma kwadratowa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Własności

[edytuj] Forma a funkcjonał

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach