Pełna grupa liniowa
Z Wikipedii
Spis treści |
Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.
[edytuj] Definicja formalna
Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę oznaczaną , gdzie:
- R jest pierścieniem łącznym z jedynką,
- ,
- działaniem grupowym mnożenie macierzy,
- operacją brania elementu odwrotnego odwracanie macierzy, zaś
- elementem neutralnym macierz jednostkowa.
Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.
[edytuj] Przestrzenie liniowe
Jeżeli V jest przestrzenią liniową nad ciałem K, wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez lub nazywamy grupę wszystkich automorfizmów V, tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.
Jeżeli przestrzeń V ma skończony wymiar , to oraz są izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w V. Jeżeli jest bazą uporządkowaną V, zaś T automorfizmem , to mamy
dla pewnych stałych . Macierz odpowiadająca T składa się po prostu z wyrazów ajk.
Podobnie grupa pierścienia R może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego R-modułu o randze n.
[edytuj] Wyznaczniki
Macierz jest odwracalna nad ciałem K wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.
Definicja dla pierścienia przemiennego R jest nieco subtelniejsza: macierz nad R jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w R, tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w R. Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.
Rozważanie wyznaczników nad nieprzemiennym pierścieniem R nie ma sensu. W tym przypadku grupa może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych M(n,R).
[edytuj] Specjalna grupa liniowa
Specjalną grupą liniową stopnia n nad ciałem K nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia n o elementach z ciała K, których wyznacznik jest równy jedności. Specjalną grupę liniową oznacza się przez .
[edytuj] Uwagi
- Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
- Jeżeli lub (ogólnie K jest ciałem lokalnym), to jest podgrupą Liego grupy wymiaru n2 − 1. Algebra Liego składa się ze wszystkich macierzy ze znikającym śladem. Nawias Liego jest dany przez jej komutator.
- Specjalna grupa liniowa może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych zachowujących objętość i orientację.
[edytuj] Rozmaitość algebraiczna
- Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.
może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru n2 nad K.
[edytuj] Ciała skończone
Jeżeli K jest ciałem skończonym o q elementach, to zamiast piszemy czasami . Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy , a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.
[edytuj] Rząd grupy
Rząd grupy wynosi
- .
Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie k-ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych k − 1 kolumn.
Przykładowo ma rząd równy (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168. Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fano oraz grupy .
Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad K, innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru k. Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.
Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.
Analogiczny wzór dla to
- .
[edytuj] Inne podgrupy
[edytuj] Podgrupy diagonalne
Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę , nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z . W ciałach takich jak , czy odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.
Macierz skalarna to macierz będąca iloczynem stałej oraz macierzy jednostkowej.
[edytuj] Grupy klasyczne
Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej V. Są to między innymi
- grupa ortogonalna, , zachowująca niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową na V,
- grupa symplektyczna, , zachowująca formę symplektyczną na V (niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową),
- grupa unitarna, , zachowująca niezdegenerowaną formę hermitowską na V, o ile .
Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.
[edytuj] Własności
- Jeśli n > 2, to nie jest abelowa.
- jest podgrupą normalną .
- Niech K * będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów K różnych od zera) ciała K, wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:
- .
- Z definicji jądra wynika, że jądrem det jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem .
- Więcej, jest produktem półprostym .
- Grupa , w przeciwieństwie do , jest jednospójna. Dodatkowo ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna , czyli dla n = 2 oraz dla n > 2.
- Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą izomorficzną z K * .
- Grupa skalarna stanowi centrum , zatem jest ona normalna i przemienna.
- Centrum to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki n-tego stopnia w ciele K.
[edytuj] Podobne grupy
[edytuj] Projektywna grupa liniowa
Projektywna grupa liniowa oraz specjalna projektywna grupa liniowa są grupami ilorazowymi oraz przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).
[edytuj] Grupa afiniczna
Grupa afiniczna jest rozszerzeniem o grupę przesunięć w Kn. Zapisuje się ją jako produkt półprosty:
- ,
gdzie działa na Kn w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową Kn.